相加平均・相乗平均の大小関係についてです。

[ゲスト]

相加平均・相乗平均の大小関係についてです。
相乗平均って何ですか？もう少し具体的に言うと、どこで 何を求めるための計算に使われて何故、相加平均より小さいと決まっているの、でしょうか？そして何故√の形なんでしょう？
相加平均は分かります。いわゆる小学校の時から教えられている、全体を ならす というイメージの平均ですよね？しかし、相乗平均はなんの説明もなしに教科書にでてきて困っています。

あと、『等号が成り立つのは√a-√b=０ すなわちa=bのときである』と記述されてるんですがよく分かりません。√a=√bではないのですか？

[ゲスト]

質問内容がたくさんあり、回答が長くなるので分けます。

①相乗平均とは何か
②どういうときに相乗平均を使うのか
③相加平均と相乗平均の大小関係はなぜ成り立つのか
④等号成立について

以上について、順番に説明します。

①相乗平均とは何か

普段使っているのは相加平均ですね。
テストの平均点が60点の場合、
・全員の点数の合計(足し算)
・平均点の(人数分の)足し算
が一致するわけです。
つまり、合計点が変わらないように、点数を均等にならしたわけです。

合計する、という足し算の結果が変わらないようにしているので、相加平均です。

一方で、相乗平均というのは字のごとく、掛け算の結果が変わらないように点数を均等にしたものです。
例えば、2人の点数が
2点、8点
だったとすると、掛け算は、2×8=16になります。
この結果をそのままに、点数を均等にするには、
？×？=16
とすればいいわけで、つまり「掛け算の結果が変わらないように均等にした点数」というのは？＝4点になります。

これが、相乗平均です。
見てわかる通り、「違う点数の掛け算」を「相乗平均の掛け算(2乗)」に平均しているわけですね。だから相乗平均を求めるときには、2乗を戻すために√を計算するのです。(相加平均の時には足した回数2で割り算でした)


②どういうときに相乗平均を使うのか

相乗平均を使うときはそれほど多くありません。
相乗平均を使うのは、かけ算の結果が重要な時です。
例えば、貯金額が1年で何倍に増えたかを考えているとしましょう。
1年目：2倍
2年目：8倍
トータル：2×8=16倍
ここで、「平均したら、1年で何倍に増えたんだろうか？」と考えたとします。
このときに、普通の平均(相加平均)では
(2+8)÷2 = 5倍
になりますが、これはあまり意味がないですね。金額は2倍になり、さらに8倍になったわけで、トータル18倍です。2+8=10倍という足し算には何の意味もないからです。実際これだと、
5倍×5倍 = 25倍
で2年では25倍になる計算になり、16倍にはなりません。

こういう時には、相乗平均を使うべきですね。相乗平均であれば、トータルの掛け算は変わらずに平均することができます。
√(2×8) = 4
なので、「1年間に平均で4倍」と言えます。
1年目に2倍、2年目はさらに8倍
というのは、
平均すれば毎年4倍に増えた
と言い換えられるわけです。


③
一般化するために、文字を使って
a,b
とします。相加平均は
(a+b)/2
です。相乗平均は掛け算を一定にするので、
√ab
になります。
こうなってしまえば、どちらもa,bの文字式です。

で、これらは数式をごちゃごちゃ調べることで、
(a+b)/2 ≧ √ab
のような大小関係があることが分かります。
ただし重要な前提としてa,bは正の数に限ります。(相乗平均を考えるときに、負の数は普通出てこないです。だって-1倍とか意味不明ですよね)
a,bが正の数であれば、数式をいじくりまわすことで上のような大小関係を証明することができるのです。
これは本当に単に数式を変形していけばそうなる、というだけなので、詳細は書きません。2乗して、引き算して、平方完成して、とかやるだけです

とにかく、相加平均と相乗平均を計算すると、相加平均のほうが大きくなるというのです。
これはa,bがどんな正の数であっても成り立ちます。

上で計算した例を思い出せば、
a=2
b=8
の時には、
相加平均：5
相乗平均：4
で確かに大小関係は
5 > 4
で相加平均の方が大きいですね。

④
a,bが特定の値の時には、相加平均と相乗平均は一致します。
具体的には
a=b
の時です。(実際にこれを代入すれば確認できます。)
これは、√a=√bというのと同値なので、「√a=√bの時に等号が成り立つ」と言い換えても良いです。でもどう見てもa=bの方が式が簡単で使いやすいですね。だからふつうルートはつけません。