次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
2x²＋3y²≧4xy
x²−2xy＋5y²＋2x＋2y＋2≧0
テスト前なのですが、この問題が本当に分かりません。誰か回答お願いします。m(_ _)m
してくださった回答に対して質問してしまうかもしれませんがその時はよろしくお願いします
不等式の証明について
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ゲスト
Re: 不等式の証明について
不等式の基本は差をとること、２次式なら平方完成もふくむ。
左辺から右辺を引いて
左辺から右辺を引いて
2x²+3y²-4xy
=2[x²-2xy]+3y² ,yを定数と思い、平方完成
=2[(x-y)²-y²]+3y²
=2(x-y)²-2y²+3y²
=2(x-y)²+y²>=0 (ここで実数の２乗は０以上より)
ゆえに
2x²+3y²-4xy=2(x-y)²+y²>=0 移項
2x²+3y²>=4xy
等号の成立は (x-y)²=0 ,y²=0 から
x-y=0, y=0 で x=0, y=0
(左辺)=x²-2(y-1)x+5y²+2y+2
={x-(y-1)}²-(y-1)²+5y²+2y+2
={x-(y-1)}²-(y²-2y+1)+5y²+2y+2
={x-(y-1)}²+4y²+4y+1
={x-(y-1)}²+(2y+1)²≧0
よって、不等式は成り立つ
等号成立は
x-(y-1)=0 かつ 2y+1=0
すなわち、x=-(3/2),y=-(1/2)のとき
答えのご確認をお願いします。
左辺から右辺を引いて
左辺から右辺を引いて
2x²+3y²-4xy
=2[x²-2xy]+3y² ,yを定数と思い、平方完成
=2[(x-y)²-y²]+3y²
=2(x-y)²-2y²+3y²
=2(x-y)²+y²>=0 (ここで実数の２乗は０以上より)
ゆえに
2x²+3y²-4xy=2(x-y)²+y²>=0 移項
2x²+3y²>=4xy
等号の成立は (x-y)²=0 ,y²=0 から
x-y=0, y=0 で x=0, y=0
(左辺)=x²-2(y-1)x+5y²+2y+2
={x-(y-1)}²-(y-1)²+5y²+2y+2
={x-(y-1)}²-(y²-2y+1)+5y²+2y+2
={x-(y-1)}²+4y²+4y+1
={x-(y-1)}²+(2y+1)²≧0
よって、不等式は成り立つ
等号成立は
x-(y-1)=0 かつ 2y+1=0
すなわち、x=-(3/2),y=-(1/2)のとき
答えのご確認をお願いします。