楕円の問題です

[ゲスト]

数学Ⅲの問題です。
楕円 x²/4+y²=1 の x>0 , y>0 の部分を C で表す. 曲線 C 上に点 P(x1,y1) をとり, 点Pでの接線と2直線 y=1, および x=2 との交点をそれぞれ, Q, R とする. 点(2,1) を A とし, 三角形AQR の面積を S とおく. このとき, 次の問に答えよ.

(1) x1+2y1=k とおくとき, 積 x1y1 を k を用いて表わせ.
(2) S を k を用いて表わせ.
(3) 点Pが C 上を動くとき, Sの最大値を求めよ.
答えは以下の通りです。
(1) x1y1=(k²-4)/4
(2) S=2-8/(k+2)
(3) 最大値 6-4√2

この問題の(3)なのですが、解説では楕円の式に直線の式を代入して判別式を使っています。この時、判別式をD≧0としているのですが、問題文上でこの直線は点Pでの接線と設定しているのでD=0で良いのではないかと思います。
なぜD≧0となるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

[komori]

はじめまして、よろしくお願いいたします。

＞問題文上でこの直線は点Pでの接線と設定しているのでD=0で良いのではないかと思います。

とありますので、楕円に代入した直線と、楕円の接線が混同していると思われます。

（２）の結果から、
Sが最大
⇔ｋが最大

点(x₁,y₁)は楕円上の点だから、
x₁+2y₁=kを満たし、
y₁=-1/2x₁+1/2k･･･①と変形できる。

この式で、kはｙ切片を意味するので、
①と楕円が共有点を持つ範囲の中で、
ｋが最大の値を求めればよい。

なので、
①と楕円からｙを消去し、
ｘの2次方程式が実数解を持つ範囲で最大のｋを求めればよい。
-2√2≦k≦2√2
より、ｋが最大となるのは、2√2
このときのSを求めればよい。

お役に立てたでしょうか？質問があればお願いします。