広義積分の収束発散を考える問題です。1番上のIと置いてある積分が考えたい積分、その下は私の考察です。
正しい議論か間違っているか、間違っている場合はどこで間違っているかを教えて頂きたいです。
x≧1の証明に14時間、後半はずっとx≧1の時と同じようにやろうとしていたので置換積分にたどり着くまでに多分2ヶ月くらい掛かりました。
広義積分の収束発散はそこそこ練習してきているのに余程単純な評価でできるものを除いていつまで経っても信じられないくらい時間がかかります。
今回の問題も解答を見ると√2x-logx≧0みたいな訳分からない1文からスタートしててウンザリしました。自分で作った回答の√xも収束するという結果が問題文で与えられていた（収束することを示せ。）ので逆算してできただけで、どっちかすら分からない時はできる気がしません。
出来ればどんな問題もテイラー展開、sinx<x<tanx （0<x<π/2）程度の基本的な不等式、|sinx|≦1や三角不等式のようなよくある絶対値の評価くらいを使って解けるようになりたいです。（つまり解答みたいな綺麗な優関数を思いつけるようになるよりは汎用性の高い方法を身につけたい。）
そのためにこれくらい知っておいたら大抵の広義積分は判定できるというものがあれば教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。
広義積分について
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ゲスト
Re: 広義積分について
広義積分はやろうと思えばいくらでも難しくできるので、一般論というのはなかなか難しいです。とくに、(まだ質問者さんが習っていないであろう)複素解析を使って解ける広義積分はかなり多いので、質問者さんにとってすぐに役に立つ知識というのは難しそうです。
ただひとつ言えることとしては、難しい積分があったら簡単な積分に置き換えて考えるということです。たとえばガンマ関数の定義∫[0→∞]e^(-x)x^(s-1)dxを取ってみると、この積分自体は難しいですが、被積分関数をいじった∫[0→∞]e^(-x)dxや∫[0→∞]x^(s-1)dxは簡単です。とくに、後者はs>1とs<1の場合に計算結果が大きく変わります。このことから、まずは積分をs<1とs>1の場合にわけると良いだろうと考えられます。そしてたとえばs>1の場合は、∫[0→∞]e^(-x)dxのほうは収束する(が∫[0→∞]x^(s-1)dxは収束しない)ので、e^(-x)x^(s-1)をe^(-x)で抑えてみようと考えるわけです。もちろんe^(-x)x^(s-1)≦e^(-x)、つまりx^(s-1)≦1というのはx≦1でないと成り立たないので、積分をx≦1とx≧1に分けてみようと考えます。x≧1においては、おさえる関数の形はe^(-x)ではうまくいかないので、すこし変えてみます。たとえば指数-xを変えてみます。二次関数など複雑な関数にしても計算できないので、簡単な関数、つまり一次関数ax+bに変えます。パラメーターがたくさんあると大変なのでとりあえずb=0にしておきます。
e^(-x)x^(s-1)≦e^(ax)はいつ成り立つでしょうか。指数をまとめると
x^(s-1)≦e^((a+1)x)
となります。ここで思い出してほしいのが、累乗関数(x^nのような関数)より指数関数のほうが一般には早く増加するということです。つまり、指数関数e^((a+1)x)が増加関数なら、上の不等式は十分大きいxについて成り立つということです。そのためにはa+1>0, つまりa>-1であればよいです。たとえばa=-1/2とでもすればおさえる関数e^(-x/2)が作れます。
ただひとつ言えることとしては、難しい積分があったら簡単な積分に置き換えて考えるということです。たとえばガンマ関数の定義∫[0→∞]e^(-x)x^(s-1)dxを取ってみると、この積分自体は難しいですが、被積分関数をいじった∫[0→∞]e^(-x)dxや∫[0→∞]x^(s-1)dxは簡単です。とくに、後者はs>1とs<1の場合に計算結果が大きく変わります。このことから、まずは積分をs<1とs>1の場合にわけると良いだろうと考えられます。そしてたとえばs>1の場合は、∫[0→∞]e^(-x)dxのほうは収束する(が∫[0→∞]x^(s-1)dxは収束しない)ので、e^(-x)x^(s-1)をe^(-x)で抑えてみようと考えるわけです。もちろんe^(-x)x^(s-1)≦e^(-x)、つまりx^(s-1)≦1というのはx≦1でないと成り立たないので、積分をx≦1とx≧1に分けてみようと考えます。x≧1においては、おさえる関数の形はe^(-x)ではうまくいかないので、すこし変えてみます。たとえば指数-xを変えてみます。二次関数など複雑な関数にしても計算できないので、簡単な関数、つまり一次関数ax+bに変えます。パラメーターがたくさんあると大変なのでとりあえずb=0にしておきます。
e^(-x)x^(s-1)≦e^(ax)はいつ成り立つでしょうか。指数をまとめると
x^(s-1)≦e^((a+1)x)
となります。ここで思い出してほしいのが、累乗関数(x^nのような関数)より指数関数のほうが一般には早く増加するということです。つまり、指数関数e^((a+1)x)が増加関数なら、上の不等式は十分大きいxについて成り立つということです。そのためにはa+1>0, つまりa>-1であればよいです。たとえばa=-1/2とでもすればおさえる関数e^(-x/2)が作れます。
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ゲスト
Re: 広義積分について
ご返信ありがとうございます。
すごく申し訳ないんですが、私は複素解析もやってますしガンマ関数とかも知ってます。
ただ、学部1年か2年で初めて広義積分を学んだ時から答えもヒントも分からない演習問題及びテストしかやって来てなくて、本来は講義中に先生に質問して間違いを直していくスタイルらしいんですが私の時は完全非同期遠隔だったので質問もろくに出来ず間違ってるかの判断も出来ないままだったので最近（遠隔講義が無くなった学部3年の去年から）になって今まで正しく理解してるつもりだったけど勘違いで間違ったまま進んでたということがボロボロ見つかったので1年の内容から学び直しているんです。
だから仰る内容は知ってるんですがまだ実積分を見て複素積分に発想を飛ばせなかったり思考をめぐらせることが出来なかったりして躓いています
知っていることがありましたら、ご享受していただきたいです。
すごく申し訳ないんですが、私は複素解析もやってますしガンマ関数とかも知ってます。
ただ、学部1年か2年で初めて広義積分を学んだ時から答えもヒントも分からない演習問題及びテストしかやって来てなくて、本来は講義中に先生に質問して間違いを直していくスタイルらしいんですが私の時は完全非同期遠隔だったので質問もろくに出来ず間違ってるかの判断も出来ないままだったので最近（遠隔講義が無くなった学部3年の去年から）になって今まで正しく理解してるつもりだったけど勘違いで間違ったまま進んでたということがボロボロ見つかったので1年の内容から学び直しているんです。
だから仰る内容は知ってるんですがまだ実積分を見て複素積分に発想を飛ばせなかったり思考をめぐらせることが出来なかったりして躓いています
知っていることがありましたら、ご享受していただきたいです。
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ゲスト
Re: 広義積分について
ガンマ関数の話は
・複雑な問題を因数分解する
・パラメーターの場合わけ
・積分区間の分割
・優関数の探し方
の様な広義積分で行われるテクニックの例示のつもりです。あくまで一例ですから、知識にするには多くの例を見る必要があります。
ここの内容はかなり難しいですよね。
「実積分を見て複素積分に発想を飛ばせなかったり...」
広義積分を見たら全部複素積分にするぐらいの気楽さで良いと思います。例えば積分路が-∞から∞で、変数を∞にしたときに0になる関数なら、半円積分路を考えてみる。積分路が0→∞で関数が偶関数なら-∞→∞に拡張する。偶関数でなく、ルートやlogを含む関数(分岐点を作る関数)があればいわゆる鍵穴積分路を考える。関数を虚軸方向に並行移動したものf(x+ia)の積分が計算可能なら長方形。三角関数があれば指数関数e^(ix)にする。これで大体は何とかなるように思います。
・複雑な問題を因数分解する
・パラメーターの場合わけ
・積分区間の分割
・優関数の探し方
の様な広義積分で行われるテクニックの例示のつもりです。あくまで一例ですから、知識にするには多くの例を見る必要があります。
ここの内容はかなり難しいですよね。
「実積分を見て複素積分に発想を飛ばせなかったり...」
広義積分を見たら全部複素積分にするぐらいの気楽さで良いと思います。例えば積分路が-∞から∞で、変数を∞にしたときに0になる関数なら、半円積分路を考えてみる。積分路が0→∞で関数が偶関数なら-∞→∞に拡張する。偶関数でなく、ルートやlogを含む関数(分岐点を作る関数)があればいわゆる鍵穴積分路を考える。関数を虚軸方向に並行移動したものf(x+ia)の積分が計算可能なら長方形。三角関数があれば指数関数e^(ix)にする。これで大体は何とかなるように思います。