数学Ⅲ、平均値の定理を教えてください！

[ゲスト]

数学Ⅲ、平均値の定理を教えてください！
a>0のとき、次の不等式を平均値の定理を用いて証明せよ。

a<$e^a$-1<ae-a

解答は「関数f(x)=$e^x$は実数全体で微分可能でありf´(x)=$e^x$であるから、区間[0、a]で平均値の定理を用いると…」

と書かれているのですが、まず$e^x$ってどこから出てきたんですか？とりあえず変数をxに置き換えて微分すればいいんですかね？あと、区間[0、a]というのはどこから求めたのですか？


わかりにくい質問ですみません。僕は学校の授業についていけないほど頭が悪くて、理屈を聞いてもよくわからないので、とりあえず「こうして、こうやる」みたいな方法のみを教えていただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

あともう一つ聞きたいことがありまして、平均値の定理ってなぜ逆の確認をしなくていいんですか？
軌跡の問題とか
f(x)は微分可能ならばf(x)は連続
などを用いるときには逆の確認が必要ですよね？

かいとうおねがいします！

[ゲスト]

一応、理屈も載せました。後半に「こうして、こうやる」を書いてます。

わからなくなったら、とりあえず、定理を書くようにしましょう。

平均値の定理
（条件）
a < b
f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数。
（内容）
このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して
（ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)）/（ｂ－ａ）＝ｆ’(ｃ)

（定理の解説）
微分とは、その点、その瞬間の変化率というのは、理解してるかと思います。
そして、定理の左辺は「ａからｂの平均変化率」を示しています。

つまり”ある点での変化率は、他の２点間の平均変化率と等しい”ということを言っています。

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《$e^x$と区間[0、a]について》
証明したい不等式の真ん中部分「$e^a$-1」に注目してください。
$ｅ^0$＝１であるので、

$e^a$-1＝ｆ(ａ)－ｆ(０)

という形をしています。
これは、平均値の定理の左辺の分子の形をしています。

つまり、「f(x)=$e^x$と区間[0、a]」を使うと都合がいいという話です。

《こうして、こうやる》
「（ｅの●乗）－１」という形を見たら、区間[0、●]でf(x)=$e^x$の平均値の定理を使う問題がほとんどです。
また、「ｅの●乗の形」や「ｓｉｎ、ｃｏｓ」がでたら、微分積分を使う問題がほとんどです。
ただ、必ずというわけではありません。

《追記》
数学が苦手な人で「そういう解答の発想は、どこからくるんだよ」と言う人が多いと思います。
この問題だと、質問者さんが思った疑問部分ですね。

パターンはあります。ただ、それを掴むには問題をこなすしかありません。

連続で微分可能であることを示したいなら、〇〇になるような実数が存在することを（平均値の定理を用いずに）示さことができても、実際に連続で微分可能か確認する必要がある

そもそも、実数が存在⇒連続で微分可能、は平均値の定理の主張するものとは関係ないから当たり前だが

連続で微分可能⇒実数が存在、は何も確認する必要ない
それが平均値の定理の主張することだから