中２の数学 証明もんだです、難問です。

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中２の数学 難問です。
中学の数学教師が、授業でこのような問題を出しました。

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19から80までをそのまま並べ、124桁の整数をつくる（1920212223・・・757677787980）。このとき、これが1980で割りきれることを証明せよ。
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どうやればよろしゅうございますか？
理解力のない中学生にも分かるよう、簡単に説明してください。

[ゲスト]

○○で割り切れることを証明せよ、と言われたときの考え方は、割る数を分割して考えること。

たとえば、「６で割り切れる数」というのは、「３で割り切れ、２で割り切れる数」のことです。
「３の倍数であり、２の倍数でもある数」といっても良いかも。

「1980で割り切れる数」というのは、素因数分解について考える必要がありますね

1980＝2×2×5×9×11と分割して考えてると、
「４で割り切れ、５でも割り切れ、９でも割り切れ、１１でも割り切れる数」になります。



一応証明手順（カッコ内は説明部分、途中式は自分で追加してね）。

1920212223・・・757677787980＝Xとする。
Xが1980で割り切れるためには、Xが４，５，１９，１１のいずれでも割り切れればよい。

Xの下２桁の数は80であり、これは４の倍数。
よってXは４で割り切れる…①

Xの下１桁の数は、０であり、これは５の倍数。
よってXは５で割り切れる…②

Xの各位をすべて足し合わせると、

（普通には計算しきれないので末位から奇数番目と偶数番目を分けて足していきます。）

末位から偶数番目の和（もとの数字で十の位の和）=1 + 2×10 + 3×10 + … +7×10 + 8×1

末位から奇数番目の和（もとの数字で一の位の和）=9+(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×6+0
(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45を使ってまとめるのがポイント)

十の位の和=1+20+30+40+50+60+70+8=279
一の位の和=9+270=279

Xのすべての位の数の和は、558=9×62 で９の倍数。
よってよってXは９で割り切れる…③

(１１の倍数であることの証明は、奇数番目と偶数番目それぞれの和の差を求めなければいけません。でもこれの計算はもう済ませたよね？）
Xの末位から奇数番目の数の和と，偶数番目の数の和の差は、
279-279=0 これは11の倍数である。
よってXは１１で割り切れる。…④

①、②、③、④、より、Xは1980で割り切れる。