確率変数について
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ゲスト
Re: 確率変数について
転置を’ で表すことにします。
E[U]は、E[X],E[Y],E[Z]をタテに並べたベクトルです。
Cov(U)は、たとえば(1,2)成分がCov(X,Y) ((2,1)成分と一致）
(3,3)成分はCov(Z,Z)=Var(Z)
というような感じになった行列です。
一般に、3次元タテベクトルaに対し、
E[a'*U]=a'*E[U]
Cov(a'*U)
=a'*Cov(U)*a
という2次形式になります。
今回は、a=(1,2,3)' を代入するだけです。
W=X+2Y+3Zとおくと、
期待値の線形性から、実際
E[W]=1*E[X]+2*E[Y]+3*E[Z]=a'*E[U]
がわかります。（14になるかと思います）
Var(W)=1^2*Var(X)+2^2*Var(Y)+3^2*Var(Z)
+2*1*2*Cov(X,Y)+2*2*3*Cov(Y,Z)+2*3*1*Cov(Z,X)
も成り立ちますが、実これがa'*Cov(U)*aと一致することも
確かめられます（やってみてください）。
ただの行列演算ですから、地道に計算するだけです。
（値は30になるかと思います。）
E[U]は、E[X],E[Y],E[Z]をタテに並べたベクトルです。
Cov(U)は、たとえば(1,2)成分がCov(X,Y) ((2,1)成分と一致）
(3,3)成分はCov(Z,Z)=Var(Z)
というような感じになった行列です。
一般に、3次元タテベクトルaに対し、
E[a'*U]=a'*E[U]
Cov(a'*U)
=a'*Cov(U)*a
という2次形式になります。
今回は、a=(1,2,3)' を代入するだけです。
W=X+2Y+3Zとおくと、
期待値の線形性から、実際
E[W]=1*E[X]+2*E[Y]+3*E[Z]=a'*E[U]
がわかります。（14になるかと思います）
Var(W)=1^2*Var(X)+2^2*Var(Y)+3^2*Var(Z)
+2*1*2*Cov(X,Y)+2*2*3*Cov(Y,Z)+2*3*1*Cov(Z,X)
も成り立ちますが、実これがa'*Cov(U)*aと一致することも
確かめられます（やってみてください）。
ただの行列演算ですから、地道に計算するだけです。
（値は30になるかと思います。）