連立漸化式について質問があります

[ゲスト]

数学の質問です。
画像の連立漸化式の解き方を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

[ゲスト]

2つコメント
1. 4つ目の式は上3つから出るので、普通は連立に入れない。
気が付かない人のための、ヒントと推定される。
2. 4つ目の式を使うとp,q,rのうち、1つは消せる。
たとえば、r_n = 1 - p_n - q_n を上2つの式に代入すれば、
2連立、2変数の問題になる。
・・・・・・・・・

と回答した人が居ますが，最後まで見切った上でそう言ったのでしょうか？
私にはそうは思えません。これは大変面倒な計算になるからです。
見えてもないのに，「見えた！」と言っても恥ずかしいだけです。

とても繁雑な計算になるので，概要だけを言います。
まず，行列の形でこの連立漸化式を表現します。
行列のn-1乗に，初項をかけてやれば完成します。


行列のn乗を求める計算は，固有値と固有ベクトルを求めて，対角化する方法でやります。
固有値のうち1つは1です。
他の二つは，50λ²-65λ+22=0 の解で，これは虚数解となります。
α，βと置きます。

α，βで固有ベクトルを表し，
P⁻¹AP を求め，n-1乗して，
P(P⁻¹AP)ⁿ⁻¹P⁻¹ を計算し，それに初項をかけてやると，
pₙ={3-20(αⁿ+βⁿ)+15(αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹)}/21
qₙ={6+50(αⁿ+βⁿ)-32(αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹)}/21
rₙ={12-30(αⁿ+βⁿ)+17(αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹)}/21

となります。
回答するときは予想でなく，実績を回答しましょう。

下の「最後までやり切っていない人」が，私に言われて少しずつ計算をしていますが，そのやり方で出来ます。
行列を使った方が，見通しが良いので使いました。

質問者も，下の回答者も実際に最後までちゃんと答えを出してみてください。途中計算がかなり煩雑になり，ふつうの高校生くらいの集中力では持たないのではないかと思います。