積分を使った球の体積の求め方です

[ゲスト]

積分を使った球の体積の求め方です。
画像のように切って切って、積分して球の体積を考えましたが、実際の体積と同じ値になりません。
どこがおかしいのでしょうか？
よろしくお願いします。

[ゲスト]

上の画像の赤い図形は扇形となります。

この扇形をABCとすると、AB=asinθ、AC=asinθ、弧BC=asinθ*dφ

よって、

扇形の面積S=(1/2)a^2*sin^2θ*ｄφ

--------

以下、だいたいの計算方法を示します。

上の画像の球を薄く切った立体の体積をdVとすると、

dV=∫(-a→a)Sdx=2*∫(0→a)Sdx

ここで、x=acosθより、dx=-asinθdθ

x=0の時、θ＝π/2、x=aの時、θ=0より、

dV=2*∫(0→π/2)(1/2)a^3sin^3θ*dφdθ

=a^3*dφ**∫(0→π/2)sin^3θdθ

=a^3*dφ*(2/3)

=(2/3)a^3dφ

よって、

球の体積をVとすると、

V/4=∫(0→π/2)(2/3)a^3dφ

=(2/3)a^3*∫(0→π/2)dφ

=(2/3)a^3*π/2

=(1/3)a^3*π

よって、

V=(4/3)πa^3

ポイントは、2つあります。

(1)...図形ABCが扇形である。

(2)...2重積分の考え方を使っている。

2重積分を避けるなら、

扇形ABCで、質問の画像では、∠BAC＝dφと微小角度を

とっている所を例えば、∠BAC=π/3,π/4, π/2,...などと

具体的な角度とすれば２重積分を避けることができます。

-----

以下、例えば、∠BAC=(π/2)の場合なら、

扇形の面積S=(1/2)a^2*sin^2θ*(π/2)

=(π/4)a^2*sin^2θ

この時、球の体積Vとすると、

V/4=∫(-a→a)Sdx=2*∫(0→a)Sdx

ここで、x=acosθより、dx=-asinθdθ

x=0の時、θ＝π/2、x=aの時、θ=0より、

V/4=2*∫(0→π/2)(π/4)a^3sin^3θ*dθ

=(π/2)a^3∫(0→π/2)sin^3θdθ

=(π/2)a^3*(2/3)

=(π/3)a^3

よって、

V=(4π/3)a^3

(補足)

(1)....∠BAC＝2πと置けば、扇形は円となって

さらに計算しやすくなります。

(2)....∫(0→π/2)sin^3θdθの計算について。

∫(0→π/2)sin^3θdθ

=∫(0→π/2)sinθ(1-cos^2θ)dθ

=∫(0→π/2)sinθdθ-∫(0→π/2)sinθcos^2θdθ

で計算する。

θのとり方をあなた画像の図で考えてる所の隣で考えて

いました。θの場所をそのままにして回答を適当に修正

するか、θの場所を隣に変えて回答を読んでください。