積分方程式についての考えを知りたいです

[ゲスト]

積分方程式に関してです。
連続関数f(x)が次を満たすときf(x)を求めよ。
f(x)=x²+∫(0→x)(tf(t))dt
模範解答を見ると、両辺xで微分しているのですが、
なぜ問題文では「f(x)が連続」とだけあるのに、
xで微分できるのでしょうか。
教えてください。

[ゲスト]

不定積分

∫ g(x) dx ＝ G(x)+C

の意味：

G(x)は

G'(x)＝g(x)

である関数だから



∫(tf(t))dx＝F(t)+C

とすれば

F'(t)＝tf(t)…①

ーーー

不定積分と定積分の関係

∫(tf(t))dx＝F(t)+C
⇄
F'(t)＝tf(t)

である時

∫[0→x](tf(t))dx＝F(x)–F(0)

右辺は不定積分の定義より微分可能な関数。
よって左辺も微分可能。

両辺をxで微分すると

d{∫[0→x](tf(t))dx}/dx＝{F(x)–F(0)}'＝F'(x)–F'(0)＝xf(x)

①とF(0)：定数より答えを得られるということですね。