三角関数の等式で三角形の形状を答えさせる問題です

[ゲスト]

sinA=cosBsinC

が成り立つ三角形はどれか？

①正三角形、②二等辺三角形、③直角三角形、④直角二等辺三角形、⑤どれでもない

すみません。できれば、サイン、コサイン、タンジェントの知識を取り戻したいので教えて下さい！
よろしくお願いします！

[ゲスト]

三角形の形状を定める問題では「辺の関係式に直す」が基本です。
正三角形，二等辺三角形は言うまでもなく辺の関係ですし，直角三角形では三平方の定理が成り立てばよいので，辺の関係に持ち込むことが出来るからです。

$\cos$があったら余弦定理，$\sin$があったら外接円の半径$R$を使って，
正弦定理です。

$\sin{A}=\frac{a}{2R} $
$\sin{C}=\frac{c}{2R} $
$\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

を代入して，簡単にすると，
$a^2+b^2=c^2$で$C$が直角の直角三角形となります。

[ゲスト]

sinA=cosBsinC … (※)

A+B+C=180°であるので
　式(※)の左辺=sinA=sin(180°-(B+C))=sin(B+C)
三角関数の加法定理より
　式(※)の左辺=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
なので、
　sinA=sinBcosC+cosBsinC。
式(※)と比べると、
　sinBcosC=0
0<B<180°なのでsinB>0だから、
　cosC=0　∴C=90°（∵0<C<180°）
となり、三角形ABCはCが直角である直角三角形とわかる。

ただし、たとえばA=30°、B=60°、C=90°とすると、
sinA=1/2、cosB=1/2、sinC=1で式(※)を満足するので、
三角形ABCは直角二等辺三角形とは限らない。

以上より答えは③になると思います。

三角関数の公式は以下の通りですね。ご確認ください。

sin A = cos (90ﾟ-A)
である。この式は、一般的な角における三角比の性質
sin θ = cos (90ﾟ-θ)