確率のサイコロに関する問題が分かりません。

[ゲスト]

n≧2において、1個のさいころを続けてn回投げて出た目を順にX1、X2、…Xnとして、その最大公約数が3であるとき、その確率は
(n回3または6の目が出る事象の確率)-(n回6の目が出る事象の確率)で、 (1/3)^n-(1/6)^nなのは分かるのですが、
これが『n回の試行のうち少なくとも1回は3の目が出て、残りn-1回は3または6の目が出る』と考えて、
nC₁(1/6)×(1/3)^n-1 とすると間違ってしまうのは何故なのでしょうか？

考えてみてもどこがダメなのか気づけなかったので教えて頂けると助かります。よろしくお願いいたします。m(_ _)m

[ゲスト]

例えばn=3とすると、条件を満たす目の出方は、「X1、X2、X3」の順に次の7通りです。
「3、6、6」「6、3、6」「6、6、3」「3、3、6」
「3、6、3」「6、3、3」「3、3、3」
₃C₁で1回目が3、後は2回目が3、3回目が6
の場合と、
₃C₁で2回目が3、後は1回目が3、3回目が6
の場合は、いずれも「3、3、6」で重複します。
よって、3が出る回数に着目すると、
₃C₁+₃C₂+₃C₃=3+3+1=7通り

「二項定理」から、
₃C₁+₃C₂+₃C₃=(₃C₀＋₃C₁+₃C₂+₃C₃)-₃C₀=2^3-1
すべての目の出方は6^3通りであるから、条件を満たす確率は、
(2^3-1)/6^3=2^3/6^3-1/6^3=(1/3)^3-(1/6)^3
これを一般化すると、(1/3)^n-(1/6)^n

難しい説明になりますが、ご確認をお願いします。

[ゲスト]

回答して頂きありがとうございます。
つまるところ、私が間違えた理由としては3の重複分を考慮してなかったがためにその分だけ確率が大きくなってしまった、ということでしょうか？

また、二項定理を使った場合の求め方における
"(2^3-1)/6^3=2^3/6^3-1/6^3=(1/3)^3-(1/6)^3"
の部分の、2^3/6^3-1/6^3での"2^3"と"6^3-1"が2^3-1/6からどのように式変形すれば得られるのかがよく分からなかったので、そこの部分についてお手数お掛けしますがもう少し詳しく教えて貰ってもよろしいでしょうか？m(_ _)m

[ゲスト]

前段については、その通りです。
n=3の場合のように、簡単な数値で考えると、理解できると思います。
すべて書き出しても7通りです。

余談になりますが、掛け算、割り算、足し算、引き算が混ざった計算では、掛け算、割り算を先にする決まりがあるので、
「4×5-2×3=20-6=14」であり、「(4×5)-(2×3)=20-6=14」とカッコを用いる必要はありません。
しかし、カッコを用いたように引き算を先に「4×(5-2)×3」とすると、
「4×3×3=36」でおかしくなってしまいます。

次に累乗について、「1/3の(n-1)乗」は「(1/3)^(n-1)」と表すべきで、
これを「(1/3)^n-1」と表すと「1/3のn乗-1」になってしまいます。
なお、意味は分かったので、敢えて指摘はしませんでした。
具体例を示すと、
2^(3-1)=2^2=2×2=4、2^3-1=2×2×2-1=8-1=7
ということです。

「二項定理」について本題に入ると、回答中にある式
(2^3-1)/6^3=2^3/6^3-1/6^3=(1/3)^3-(1/6)^3
について、本来は不要ですが分かりやすくするためにカッコを用いると、
(2^3-1)/6^3=(2^3/6^3)-(1/6^3)=(1/3)^3-(1/6)^3
なお、
(2^3/6^3)=(2/6)^3=(1/3)^3
です。
どこで切れるのかを、よく理解してください。

[ゲスト]

指数の表し方の指摘もして頂きありがとうございます。
式変形に関してもそのせいで、単に私が
2^3-1/6^3=2^3/6^3-1/6^3の、"2^3/6^3-1/6^3"
における-1が掛かっている部分を2^3/6^3の6の指数の部分(6^3-1)と勘違いしてしまっただけのようです。
紙に書いて計算したら気づきました。

お手数をお掛けしましたm(_ _)m