対数関数の最大値の問題について、解答がイマイチ分かりません。
その問題の文章は以下の通りです。
「関数 f(x)=(log_2x)(log_2x-2) がある。
異なる正の実数 a，b が f(a)=f(b) を満たしながら変化するとき，b を a を用いて表せ。
また，このとき，y=(1/2)^a (1/4)^b の最大値と，y が最大値をとるときの a，b の値をそれぞれ求めよ。」
ご教示のほどよろしくお願いいたします。計算過程などもあると嬉しいです。よろしくお願いします。
対数関数の最大値などを解く問題です
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Re: 対数関数の最大値などを解く問題です
\[ f(x)=\log_{2}x(\log_{2}x-2)\]
\[ f(a)-f(b)=(\log_{2}a)^2-(\log_{2}b)^2-2(\log_{2}a-\log_{2}b) \]
\[ f(a)-f(b)=0 \]
より
\[ (\log_{2}a-\log_{2}b)(\log_{2}a+\log_{2}b-2)=0 \]
$a \neq b$ より $\log_{2}a \neq \log_{2}b $
よって
\[ \log_{2}a+\log_{2}b=2 \]
\[ \log_{2}ab=\log_{2}4 \]
\[ab=4\]
したがって
\[b=\frac{4}{a} \]
ゆえに
\[y=(\frac{1}{2})^a \cdot (\frac{1}{4})^b=(\frac{1}{2})^a (\frac{1}{4})^{\frac{4}{a}}\]
\[=2^{-(a+\frac{8}{a})} \]
$a>0$より$\frac{8}{a}>0 $
相加平均・相乗平均の関係から
\[a+\frac{8}{a} \geq 2 \sqrt{a \times \frac{8}{a}}=4\sqrt{2} \]
等号は
\[a=\frac{8}{a}のとき、すなわち a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2} \]
のとき成り立つ。
よって
\[ a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2}\]
のとき最大値$2^{-4\sqrt{2}}$
\[ f(a)-f(b)=(\log_{2}a)^2-(\log_{2}b)^2-2(\log_{2}a-\log_{2}b) \]
\[ f(a)-f(b)=0 \]
より
\[ (\log_{2}a-\log_{2}b)(\log_{2}a+\log_{2}b-2)=0 \]
$a \neq b$ より $\log_{2}a \neq \log_{2}b $
よって
\[ \log_{2}a+\log_{2}b=2 \]
\[ \log_{2}ab=\log_{2}4 \]
\[ab=4\]
したがって
\[b=\frac{4}{a} \]
ゆえに
\[y=(\frac{1}{2})^a \cdot (\frac{1}{4})^b=(\frac{1}{2})^a (\frac{1}{4})^{\frac{4}{a}}\]
\[=2^{-(a+\frac{8}{a})} \]
$a>0$より$\frac{8}{a}>0 $
相加平均・相乗平均の関係から
\[a+\frac{8}{a} \geq 2 \sqrt{a \times \frac{8}{a}}=4\sqrt{2} \]
等号は
\[a=\frac{8}{a}のとき、すなわち a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2} \]
のとき成り立つ。
よって
\[ a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2}\]
のとき最大値$2^{-4\sqrt{2}}$