回転体

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数Ⅲの回転体の問題です。
（１）までは出来るのですが（答えは1で合っていますよね？）、（２）が不安です。途中式を詳しく書いていただけないでしょうか。

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(2)
求める体積は図の斜線部分を、$x$軸を回転の軸として
回転させてできる立体の体積に等しい。
$y=-\sin{x}$と$y=-\cos{2x}$の共有点の$x$座標は
$-\sin{x}=-\cos{2x}$を解いて
\[ x=\frac{\pi}{6} \]
よって、求める体積$V$は
\[V=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{2}{2x}dx+\pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(-\sin{x})^2 dx -\pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos{2x})^2 dx \]
\[=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1+\cos{4x}}{2}dx+\pi \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos{2x}}{2} dx -\pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos{4x}}{2}dx \]
\[=\pi [\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin{4x}]_{0}^{\frac{\pi}{6}}+\pi [\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin{2x}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}- \pi [\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin{4x}]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\]
\[=\pi (\frac{\pi}{12}+\frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) +\pi \cdot \frac{\pi}{4}-\pi
(\frac{\pi}{12}-\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} )-\pi (\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}))\]
\[=\frac{3\sqrt{3}}{16}\pi+\frac{\pi^2}{8} \]

ご確認お願いします。