約数について教えてください

[ゲスト]

次の問題の答えと考え方を押してください。よろしくお願いいたします。

１以上２０２５以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数であるものは
何個あるか？

[ゲスト]

正の約数の個数が奇数になるのは、平方数です(※)

2025=45²
ですから、1以上2025以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数であるものは、1²,2²,3²,…,45²の45個です。


※
n= p^a×q^b×r^c×…
と素因数分解できるとき、nの正の約数の個数は、
(a+1)(b+1)(c+1)(…
で計算できます。

これが奇数になるということは、
a+1, b+1, c+1, …が全て奇数であるということ。
つまり、
a, b, c, …が全て偶数であるということになります。

a, b, c, …が全て偶数のとき、
a=2a'
b=2b'
c=2c'
…
と置くと、
n = p^a×q^b×r^c×…
= p^(2a')×q^(2b')×r^(2c')×…
= (p^a'×q^b'×r^c'×…)^2
となるので、nは平方数になります。

逆に、nが平方数であれば、
n=k^2
と置いて、
k=p^a×q^b×r^c×…
と因数分解したら、
n=(p^a×q^b×r^c×…)^2
=p^(2a)×q^(2b)×r^(2c)×…
となって、正の約数の個数は
(2a+1)(2b+1)(2c+1)…
なので、奇数になります。

以上から、正の約数の個数が奇数個であることと、平方数であることは同値です。

答えのご確認をお願いします。