平均値の定理について質問があります

[ゲスト]

平均値の定理:関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で、開区間(a,b)で微分可能ならばf(b)-f(a)/b-a=f’(c), a<c<bを満たす実数cが存在する。(教科書より引用)
そして、下のf‘(x)の符号とf(x)の増減は平均値の定理から成り立つものですが、
平均値の定理で、必ず“閉区間[a,b]”で連続であって、“開区間(a,b)”で微分可能じゃないといけないんですか？(連続や微分可能のところは分かります)

あと、例題として平均値の定理を使いx>0ならばsinx<xになることを示せ。も一緒に教えてください。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

(f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (括弧が足りない)

端点も連続でないと成り立たない例
f(x)=floor(sin(x)), a=0, b=π/2
# floor(z) は床関数 (zを超えない最大の正数)
左辺は2/π
f'(c) は任意の c∈(a,b) で 0 につき不成立。

言うまでもないが、
区間[a,b]で連続としている以上、
f(x) の定義域も [a,b] するので
左極限や右極限がそもそも定義されていない
f(a) や f(b) は存在し得ないので注意。

区間 (a,b) で微分不可能な点が存在するときの例外
f(x)=abs(x), a=-2, b=1
# abs(z) は z の絶対値
f'(x)=-1 (-2<x<0), 1 (0<x<1), 不定 (x=0)
左辺は -1/3 なので
f'(c)=-1/3 を満たす c∈(-2,1) は存在しないですね。

微分可能性の条件に関しては、端点a,bで微分可能である必要はありません。cはaとbにはならないので、f'(a)やf'(b)は存在しなくても問題ないです。

【証明】
(i) x > 1 のときは sin(x) ≦ 1 < x より明らかに成り立つ．

(ii) 0 < x ≦ 1 のとき
f(t) = t - sin(t) とすると，f(t) は[0, x] 上連続，(0, x) 上微分可能なので，平均値の定理から
(f(x) - f(0))/(x-0) = f'(c)
を満たす c∈(0, x) が存在する．このとき，
(左辺) = (x - sin(x))/x
であり，また 0 < c < x ≦ 1なので，
(右辺) = 1 - cos(c) > 0．
よって，(x -sin(x))/x > 0，すなわち，x > sin(x)．

したがって，x>0 ならば sin(x)<x は成り立つ．