三角関数の応用問題について質問あり

[ゲスト]

三角比の2次関数の解の個数の問題なのですが、この問題の(2)が良くわかりません。

0°≦θ≦180°とする。θの方程式2cos^2θ+sinθ+a-3=0･･･① について
(1)①が解を持つための定数aの範囲を求めよ
。

(2)①が異なる4個の解をもつときの定数aの範囲を求めよ。

(1)はわかりましたが、(2)が解説を読んでもわかりません。
ちなみに(1)の答えが7/8≦a≦2
(2)7/8＜a≦1
です。

この回答だと2個だけだと思ってしまいます。何が間違っているかが分かりません。
ご回答よろしくお願いします。

[ゲスト]

【解答】
2cos(θ)^2 + sin(θ) + a-3 = 0
⇔ 2(1-sin(θ)^2) + sin(θ) + a-3 = 0
⇔ 2sin(θ)^2 - sin(θ) + 1 = a.

ここで x=sin(θ) とおくと 0°≦θ≦180° なので 0≦x≦1.
f(x) = 2x^2 - x + 1
とする.

(1)
①が解を持つための条件は「y=f(x) と y=a が 0≦x≦1 の範囲で共有点を持つ」こと. ここで,
y
= 2x^2 - x + 1
= 2{x - (1/4)}^2 + 7/8
なので, 0≦x≦1 のとき f(x) のとりうる値の範囲は, グラフより
f(1/4)≦f(x)≦f(1), すなわち, 7/8≦f(x)≦2.
よって, 求める a の値の範囲は 7/8≦a≦2.

(2)
①が異なる 4 個の解を持つための条件は「y=f(x) と y=a が 0≦x<1 の範囲で異なる 2 個の共有点をもつ」こと. よって, グラフより,
f(1/4)<a≦f(0), すなわち, 7/8<a≦1.

※ グラフはご自分で描いてください.
※ 何か不明な点があれば補足します.

[ゲスト]

$\sin{\theta}=t (0 \leq t \leq 1)$ として
\[a=2(t-\frac{1}{4})^2+\frac{7}{8} \]
として
$y＝a$、と、$y＝2(t-\frac{1}{4})^2+\frac{7}{8}$との交点の数を、
$0 \leq t \leq 1$　で考える
そして、$t$の2次関数と異なる2つの交点を持つのは、
\[ \frac{7}{8}<a \leq 1 \]となる。
そこまでは、正しいです。

しかし、問題は、$\theta$ と $t$ の対応が1対1なら、それで良いですが、
$ 0 \leq \theta \leq \pi$
において、
・$t＝1$の時、$\sin{\theta}=1$だから、$\theta=\frac{\pi}{2}$ となり、1個
・$t＝0$の時、$\sin{\theta}=0$だから、$ \theta=0, \pi $となり、2個
・$0<t<1$の時、$\theta$は2個。
例えば、$\sin{\theta}=\frac{1}{2}$の時、
\[ \theta= \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \]


従って、$0 \leq t<1$で2つの異なる交点を持つと良い。
この時、$\theta$と$t$の対応は、2対1。
2つの交点を持つとき、$\theta$の値は、異なる4個になる。