微分の基礎

[ゲスト]

写真の問題はy'=~の形にして代入して傾きを求める、という手順であっていますか？大丈夫かな、と思うのですが、このような問題をたくさん解いていて、ふと「なんで微分して代入したら傾きが分かるのか」が分からなくなりました。なんで微分して代入で傾きが分かるのですか？
写真の問題の答えも教えてくれたら嬉しいです。

[ゲスト]

実数$a$と$h>0$を考えます。曲線$y=f(x)$上の2上の2点$A(a,f(a))とB(a+h,f(a+h))$
を通る直線の傾きは
\[ \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]
となり、ここで$h$を限りなく$0$の近づけるとき
直線ABの傾きが点Aにおける接線の傾きに限りなく近づきます。
微分の定義より
\[ \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\prime}(a) \]
となるので微分して代入すると傾きが分かります

問題の答え
$y^{\prime}=2x-2$
(1)
$x=-2$を代入すると$y^{\prime}=-6$
よって、求める直線の方程式は
\[ y=-6(x+2)+8 \]
\[y=-6x-4 \]

(2)
$x=4$を代入すると$y^{\prime}=6$
よって、求める直線の方程式は
\[ y=6(x-4)+8 \]
\[y=6x-16 \]