空間図形が苦手です

[ゲスト]

1辺の長さaの正四面体の体積を求めよ。ただし、1つの頂点から向かい合う面に下ろした垂線の足はその面の重心と一致することは利用してよい。

という問題なのですが、「利用して良い」と書かれていても、どう利用するのかが分かりません。

解説してくれる方、いらっしゃまいましたらお願いします。

[ゲスト]

図のように4点A,B,C,Dとする
頂点Aから向かい合う面に下ろした垂線の足をHとする。
ここで、AB=AC=ADより
\[BH^2=AB^2-AH^2 \]
\[CH^2=AC^2-AH^2 \]
\[DH^2=AD^2-AH^2 \]
からBH=CH=DH
したがってHは△BCDの外心である.
またHは△BCDの重心であるから
\[BH=\frac{\sqrt{3}}{2}a \times \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}a \]
よって、三平方の定理より
\[AH=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2}= \frac{\sqrt{6}}{3}a \]
△BCDの面積は
\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sin{60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \]
よって
体積は
\[ \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \]