複素数の漸化式についてわからない部分があります

[ゲスト]

以下の問題について、答えと解答の軌跡を教えてもらってもいいでしょうか。よろしくお願いいたします

[ゲスト]

点Pの列と，点Mの列は違うシステムで決まりますので，連立漸化式にする必要があります。

まず，PₙとMₙの中点がMₙ₊₁なので，
mₙ₊₁=(pₙ+mₙ)/2
pₙ=2mₙ₊₁-mₙ


ベクトルMₙ₊₁Pₙ↑をθ回転させると，Mₙ₊₁Pₙ₊₁↑ なので，
pₙ₊₁-mₙ₊₁=(pₙ-mₙ₊₁)(cosθ+isinθ)
簡単に書くため，cosθ+isinθ=α と置きます。
pₙ₊₁-mₙ₊₁=α(pₙ-mₙ₊₁)

p を消去
(2mₙ₊₂-mₙ₊₁)-mₙ₊₁=α{(2mₙ₊₁-mₙ)-mₙ₊₁}
2(mₙ₊₂-mₙ₊₁)=α(mₙ₊₁-mₙ)
mₙ₊₂-mₙ₊₁=(α/2)(mₙ₊₁-mₙ)

これが出すべき漸化式でした。
この式は，
数列｛mₙ₊₁-mₙ｝は，初項m₂-m₁，公比α/2 の等比数列
ですから，
mₙ₊₁-mₙ=(α/2)ⁿ⁻¹(m₂-m₁)
m₂-m₁=(1/2)(cosθ+isinθ)=α/2 ですから，
mₙ₊₁-mₙ=(α/2)ⁿ です。

階差数列の形なので，

mₙ=m₁+Σ[k=1～n-1](α/2)ᵏ
....=0+(α/2){1-(α/2)ⁿ⁻¹}/{1-(α/2)}

|α/2|=1/2 なので，n → ∞ で，α/2 → 0
クルクル回りながら，0に近づきます。。。

だから，
n → ∞ で，
mₙ → (α/2)/{1-(α/2)}=α/(2-α)

θ=π/3 のとき，α=(1+√3i)/2 を入れて，
α/(2-α)=√3i/3

とすることで解決します。

あぁ，忘れてました。pでした。。
pₙ=2mₙ₊₁-mₙ ですから，m → 0 なら，p → 0 です。

[ゲスト]

回答ありがとうございます。答えはそちらで問題ないのですが解放が少し難しいです。高校数学の範囲で解答いただけませんか？よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

申し訳ございません。なるべく高校内容で説明します。ややこしい説明になるかなと思いますがご了承ください。

P1:半径1をθ回転させるので、cosθ
M1:上記の半分で、cosθ/2
P2:M1点で見れば、半径1/2を2θ回転させたものなので、cos(2θ)/2。それにM1点を足し、cos(2θ)/2+cosθ/2
M2:M1点のcos(2θ)/2部分を更に半分にし、cos(2θ)/2^2。これにM1点を加えた、cos(2θ)/2^2+cosθ/2。
P3:M2点で見れば、半径1/2^2を3θ回転させたものだから、cos(3θ)/2^2。更にM2点を足し、
cos(3θ)/2^2+cos(2θ)/2^2+cosθ/2。
Pn点というのは、Mn-1点で見ると、半径1/2^(n-1)をnθだけ回転させ、更にそれまで積み上げてきたMn-1点分を出せば良いので、
Pnx＝cos(nθ)/2^(n-1)+Σ_{1~n-1}cos(kθ)/2^k
となります。
yは、cosがsinになったものですね。
Pny＝sin(nθ)/2^(n-1)+Σ_{1~n-1}sin(kθ)/2^k
これをn→∞にする訳ですが、
Mn-1点
Mn-1x=Σ_{1~n-1}cos(kθ)/2^k
Mn-1y=Σ_{1~n-1}sin(kθ)/2^k
の方を考えます。
Mn-1からMnへいくのに、ベクトルと見て、長さを1/2にし、θだけ回転させる事を考えます。それは、下記行列をかけて、
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
Mnx=(1/2)cosθMn-1x-(1/2)sinθMn-1y
Mny=(1/2)sinθMn-1x+(1/2)cosθMn-1y
Mnx-Mn-1x=
[(1/2)cosθ-1]Mn-1x-(1/2)sinθMn-1y
Mny-Mn-1y=
(1/2)sinθMn-1x+[(1/2)cosθ-1]Mn-1y
ここで、n→∞でMnx-Mn-1xとMny-Mn-1yはゼロになるつまり、Mn-1x→Mx、Mn-1y→Myとおくと、
0=[(1/2)cosθ-1]Mx-(1/2)sinθMy
0= (1/2)sinθMx+[(1/2)cosθ-1]My
この連立方程式を解いて得られるMxとMyが、Pnのn→∞の点となり、おそらく私が計算した結果と同じになると思います。