放物線y=4x-x2乗と直線y=xで囲まれた部分が、x軸の周りに一回転してできる回転体の体積は？
考えてみましたがわからないので教えてください
数Ⅲ？
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Re: 数Ⅲ？
f(x)=4x-x^2
g(x)=x
とする。
交点のx座標を求める。
x=4x-x^2
x^2-3x=0
x(x-3)=0
x=0,3
よって、積分する範囲は0→3
[0,3]において
f(x)≧0、g(x)≧0
f(x)-g(x)=x(3-x)≧0だから、f(x)≧g(x)
求める面積をSとすると
S=π∫[0→3]{f(x)}^2dx-π∫[0→3]{g(x)}^2dx
=π∫[0→3](x^4-8x^3+16x^2)dx-π∫[0→3](x^2)dx
=π∫[0→3](x^4-8x^3+15x^2)dx
=π[x^5/5-2x^4+5x^3][0→3]
=π(3^5/5-2・3^4+5・3^3)
=π(3^5/5-6・3^3+5・3^3)
=π(3^5/5-3^3)
=π(3^5/5-5・3^3/5)
=π(9・3^3-5・3^3)/5
=π(4・3^3/5)
=108π/5
※π∫[0→3](x^2)dxは、高さ3、底面の半径3の円錐の体積として求めることもできる。
g(x)=x
とする。
交点のx座標を求める。
x=4x-x^2
x^2-3x=0
x(x-3)=0
x=0,3
よって、積分する範囲は0→3
[0,3]において
f(x)≧0、g(x)≧0
f(x)-g(x)=x(3-x)≧0だから、f(x)≧g(x)
求める面積をSとすると
S=π∫[0→3]{f(x)}^2dx-π∫[0→3]{g(x)}^2dx
=π∫[0→3](x^4-8x^3+16x^2)dx-π∫[0→3](x^2)dx
=π∫[0→3](x^4-8x^3+15x^2)dx
=π[x^5/5-2x^4+5x^3][0→3]
=π(3^5/5-2・3^4+5・3^3)
=π(3^5/5-6・3^3+5・3^3)
=π(3^5/5-3^3)
=π(3^5/5-5・3^3/5)
=π(9・3^3-5・3^3)/5
=π(4・3^3/5)
=108π/5
※π∫[0→3](x^2)dxは、高さ3、底面の半径3の円錐の体積として求めることもできる。