積分のバームクーヘンの公式について質問がります

[ゲスト]

数3の積分の求積問題でいわゆるバームクーヘン分割の公式というものがありますが、入試などでは証明しないと用いてはいけないのでしょうか？
（ ∮2πxf(x):バームクーヘン分割の公式 ）
個人的
な感覚としては、そもそも面積を積分すると体積になるというのを前提として問題を解く訳ですから、
「f(x)の回転体の表面積は2πxf(x)であり、それを積分すると回転体の体積 ∮2πxf(x)が得られる。」
程度の記述でいいように思われるのですが、「面積の積分は体積」の前提が使えて、「表面積の積分は体積」が前提として使えないのであれば、どういった理由があるのでしょうか？

記述で使ってもいいのかどうかも気になります。ご回答よろしくお願いします。

[ゲスト]

バームクーヘン型の公式を使って良いと個人的には思います。

ここでは、質問の文の中で気になったことを書きます。

体積の公式で良く使われる、

例えば、x軸にy=f(x)を回転させた時の立体の体積Vは、

V=π∫(a→b)y^2dx......①

この公式は、問題の回転体を平面 x=c,(a＜c＜b )で切った断面積

に厚さdxを掛けて微小円柱の体積を寄せ集めてできた公式です。

一方、

バームクーヘン型の体積の公式は、

例えば、y=f(x)をy軸に回転させた時の立体の体積Vは、

V=2π∫(a→b)xydx.....②

②は、半径x=c,(a＜c＜b ), 高さf(c)の円柱と

半径x=c+dx, 高さf(c)の円柱の間にはさまれた立体の

微小体積を寄せ集めてできた公式です。

この２つの考え方は異なります。

又、

あなたのいう回転体の表面積については、表面積を普通の意味

で考えた時、f(x)の回転体の表面積は2πxf(x)とはなりませんし、

又、

単純に面積の積分は体積と考えるのは良くないと思います。