二次試験の難問について質問があります

[ゲスト]

2005年 数学一橋大の過去問です
(１)p、2p+1、4p+1がいずれも素数であるようなpをすべてを求めよ

(2)p、2p+1、4p-1、6p-1、8p+1がいずれも素数であるようなpをすべて求めよ

メルセンヌの素数を使ってだすのかなと思ったんですけど、できませんでした

初手からわかりませんので、詳しい回答よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

pに具体的な素数を代入して実験してみます。

(1)
p=2 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(2,5,9) ×

p=3 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(3,7,13) ○

p=5 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(5,11,21) ×

p=7 のとき
(p,2p+1,4p+1)=(7,15,29) ×

×になっている3数の組にある合成数は、
すべて3より大きい3の倍数です。
このことに気付ければ簡単な問題であり、
逆に言えば、こういう具体的な性質を見つけるために、
実験を行うのです。

（解答）
p=3 のときは、題意を満たす。
p≠3 のとき、p=3k±1 （k∈自然数） と表される。

p=3k+1 のとき、2p+1=6k+3=3(2k+1)
これは3より大きい3の倍数なので題意を満たさない。

p=3k-1 のとき、4p+1=12k-3=3(4k-1)
これは3より大きい3の倍数なので題意を満たさない。

以上より、p≠3 のときは題意を満たさないので、解はp=3


(2)
実験すると、満たさない組には、
5より大きい5の倍数が含まれていることが分かります。

（略解）
p=5 のとき、題意を満たす。

p=5k+1 のとき、6p-1=30k+5=5(6k+1)
p=5k+2 のとき、2p+1=10k+5=5(2k+1)
p=5k+3 のとき、8p+1=40k+25=5(8k+5)
p=5k+4 のとき、4p-1=20k-15=5(4k-3)

これら各々が素数で、pも素数であるのは、
p=2 のとき、2p+1=5 に限られる。
他の値についても素数であるので、p=2 は題意を満たす。

以上より、p=2,5

こういうものは、先ず実験をしてみる。
この手の問題で、入試では、そう大きな素数は対象にならない場合が多い。
それは、ⅠでもⅡでも同じ。
そうすると、先が見えてきて、Ⅱは5の倍数が関係すると分かってきますね。

[ゲスト]

数学の二次の配点が高い大学を狙っているので
今後もこのような質問を出す機会があるのでまた、お力を貸してくれると幸いです。ありがとうございました。