統計的な推測

[ゲスト]

1つのサイコロを2回投げて、1回目、2回目、２に出た目の数をそれぞれX、Yとする。確率変数X、 yについて、E(3X+Y)、E(XY)、E(6X+2Y)を求めよ。

というもんぢあが出たのですが、確率変数の和・積について私の学習が足りず理解出来ていません。詳しく説明してくださると嬉しいです。

[ゲスト]

1から6の目が出る確率はそれぞれ$\frac{1}{6}$だから
$X$の期待値$E(X)$は
\[ E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{6} \cdots +6 \cdot \frac{1}{6}\]
\[=(1+2+3+ \cdots +6) \cdot \frac{1}{6} =\frac{7}{2} \]
同様にして$E(Y)$は
\[E(Y)=\frac{7}{2} \]
ここで、実数$a,b$にたいして
\[E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \]
であるから
\[E(3X+Y)=3E(X)+E(Y)=3 \cdot \frac{7}{2}+ \frac{7}{2}=14\]
$X,Y$は独立だから
\[E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}=\frac{49}{4} \]
また
\[E(6X+2Y)=6E(X)+2E(Y)=6 \cdot \frac{7}{2}+2 \cdot \frac{7}{2}=28\]

[ゲスト]

期待値を出してから計算するんですね。
この単元は他の単元とのつながりがあまり感じられず、難しいと感じていましたが、単独で勉強した方が良さそうですね。覚えなければならない公式も多いので、たくさん練習することにします。
ありがとうございました。