ベクトルの問題の解説をお願いしたいです。

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この問題の解説をお願いしたいです。難しいので最初の問題から教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いいたします。

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ベクトル記号の矢印は省略します。
内積記号は・の代わりに.を使います。

(1)

|BC|=4
|BC|²=4²
|-AB+AC|²=16
|AB|²-2AB.AC+|AC|²=16
9-2AB.AC+25=16
-2AB.AC=-18
AB.AC=9

別のやり方としては
△ABCは∠ABC=90°の直角三角形なので
cos∠BAC=AB/CA=3/5
AB.AC=|AB||AC|cos∠BAC=3*5*3/5=9

(2)

AD=(1/2)AB

AE=(1/3)AB+(2/3)AC

PはCD上の点なので、CP:PD=s:(1-s)とすると
AP=(1-s)AC+sAD=(s/2)AB+(1-s)AC

PはAE上の点なので、AP:PE=t:(1-t)とすると
AP=tAE=(t/3)AB+(2t/3)AC

係数を比較して
s/2=t/3
1-s=2t/3

これを解いて
(s,t)=(1/2,3/4)

よって
AP=(1/4)AB+(1/2)AC

(3)

∠ABC=90°を利用しても良いのですが、
あえて、これを使わない方法で。

HはBC上の点なので、BH:HC=u:(1-u)とすると
AH=(1-u)AB+uAC

PH=AH-AP=(1-u)AB+uAC-(1/4)AB-(1/2)AC
=(1-u-1/4)AB+(u-1/2)AC
=(3/4-u)AB+(u-1/2)AC

PH⊥BCなので
PH.BC=0
((3/4-u)AB+(u-1/2)AC).(-AB+AC)=0
((3-4u)AB+(4u-2)AC).(-AB+AC)=0
-(3-4u)|AB|²+(3-4u-4u+2)AB.AC+(4u-2)|AC|²=0
-9(3-4u)+9(-8u+5)+25(4u-2)=0
-27+36u-72u+45+100u-50=0
64u=32
u=1/2

BH:HC=u:(1-u)=1/2:1/2=1:1

長くなりましたが、解答の確認をお願いします。よろしくお願いいたします。