添付の問題（１）（２）をどう解けばいいのかわかりません。
普通に計算はしないですよね？
最近習ったlogを使うような感じなのですが、どう使うのでしょうか。
すみませんが教えてください。
指数の問題をどう解けばいいのか教えてください
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ゲスト
Re: 指数の問題をどう解けばいいのか教えてください
(1)
\[99^{99}=(100-1)^{99}=100^{99}+ _{99}C_1 \cdot 100^{98} \cdot (-1)+ _{99}C_2 \cdot 100^{97} \cdot (-1)^2 +\cdots + _{99}C_{97} \cdot 100^{2} \cdot (-1)^{97}+ _{99}C_{98} \cdot 100 \cdot (-1)^{98}+ _{99}C_{99} \cdot (-1)^{99} \]
ここで
\[ 100^{99}+ _{99}C_1 \cdot 100^{98} \cdot (-1)+ _{99}C_2 \cdot 100^{97} \cdot (-1)^2 +\cdots + _{99}C_{97} \cdot 100^{2} \cdot (-1)^{97} \]
は10000の倍数なので下三桁には影響しない。
\[ _{99}C_{98} \cdot 100 \cdot (-1)^{98}+ _{99}C_{99} \cdot (-1)^{99} \]
\[=99 \cdot 100-1=9899 \]
よって、百の位:8 、十の位：9、一の位:9
\[99^{99}=(100-1)^{99}=100^{99}+ _{99}C_1 \cdot 100^{98} \cdot (-1)+ _{99}C_2 \cdot 100^{97} \cdot (-1)^2 +\cdots + _{99}C_{97} \cdot 100^{2} \cdot (-1)^{97}+ _{99}C_{98} \cdot 100 \cdot (-1)^{98}+ _{99}C_{99} \cdot (-1)^{99} \]
ここで
\[ 100^{99}+ _{99}C_1 \cdot 100^{98} \cdot (-1)+ _{99}C_2 \cdot 100^{97} \cdot (-1)^2 +\cdots + _{99}C_{97} \cdot 100^{2} \cdot (-1)^{97} \]
は10000の倍数なので下三桁には影響しない。
\[ _{99}C_{98} \cdot 100 \cdot (-1)^{98}+ _{99}C_{99} \cdot (-1)^{99} \]
\[=99 \cdot 100-1=9899 \]
よって、百の位:8 、十の位：9、一の位:9
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ゲスト
Re: 指数の問題をどう解けばいいのか教えてください
(2)二項定理より((1)と同じ)
\[ 21^{21}=(20+1)^{21}=20^{21}+ _{21}C_1 \cdot 20^{20} \cdot 1+ _{21}C_{2} \cdot 20^{19} \cdot 1^2 +\cdots + _{21}C_{19} \cdot 20^2 \cdot 1^{19}+ _{21}C_{20} \cdot 20 \cdot 1^{20} + _{21}C_{21} \cdot 1^{21} \]
ここで
\[20^{21}+ _{21}C_1 \cdot 20^{20} \cdot 1+ _{21}C_{2} \cdot 20^{19} \cdot 1^2 +\cdots + _{21}C_{19} \cdot 20^2 \cdot 1^{19} \]
は400の倍数だから
$21^{21}$を400で割った余りは
\[ _{21}C_{20} \cdot 20 \cdot 1^{20} + _{21}C_{21} \cdot 1^{21} \]
を400で割った余りに等しい。
\[ _{21}C_{20} \cdot 20 \cdot 1^{20} + _{21}C_{21} \cdot 1^{21} =21 \cdot 20+1=421\]
よって求める余りは21
\[ 21^{21}=(20+1)^{21}=20^{21}+ _{21}C_1 \cdot 20^{20} \cdot 1+ _{21}C_{2} \cdot 20^{19} \cdot 1^2 +\cdots + _{21}C_{19} \cdot 20^2 \cdot 1^{19}+ _{21}C_{20} \cdot 20 \cdot 1^{20} + _{21}C_{21} \cdot 1^{21} \]
ここで
\[20^{21}+ _{21}C_1 \cdot 20^{20} \cdot 1+ _{21}C_{2} \cdot 20^{19} \cdot 1^2 +\cdots + _{21}C_{19} \cdot 20^2 \cdot 1^{19} \]
は400の倍数だから
$21^{21}$を400で割った余りは
\[ _{21}C_{20} \cdot 20 \cdot 1^{20} + _{21}C_{21} \cdot 1^{21} \]
を400で割った余りに等しい。
\[ _{21}C_{20} \cdot 20 \cdot 1^{20} + _{21}C_{21} \cdot 1^{21} =21 \cdot 20+1=421\]
よって求める余りは21