至急です。数1のデータの分析の問題でわからない部分があります。
15個の値からなるデータのうち10この値の平均が9、分散は3、残りの5個の値の平均が6、分散が9でこのデータの平均値と分散を求める、というものがあるのですが解説を読んでも理解が出来ません。わかりやすく教えてください…分散が特にわかりません。よろしくお願いいたします。別解もあればさらにうれしいです。
データの分析について質問があります。
フォーラムルール
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
-
ゲスト
Re: データの分析について質問があります。
平均を求めるのは、データの総和とデータ数が分かれば良いです。
(平均) = (データの総和)/(データ数)
そこで、この関係式を逆に利用し、10個のデータの総和と5個のデータの総和をそれぞれの平均から求め、まとめて15個の平均にします。
10個のデータの総和：9 * 10 = 90
5個のデータの総和：6 * 5 = 30
以上より、
15個のデータの総和：90 + 30 = 120
よって、15個のデータの平均は、120/15 = 8
分散を求めるには、上の情報に加えて、データの平方和(2乗して足し合わせたもの)が必要です。以下の公式を利用します。
(分散) = (平方和の平均) - (平均)^2
なお、(平方和の平均) = (平方和)/(データ数)です。
考え方は、平均の場合と同じで、まずは平方和を求めます。公式を以下のように使います。
(平方和の平均) = (分散) + (平均)^2
10個のデータの平方和の平均：3 + 9^2 = 84
5個のデータの平方和の平均：9 + 6^2 = 45
よって、平方和はこうなります。
10個のデータの平方和：84 * 10 = 840
5個のデータの平方和：45 * 5 = 225
よって、15個のデータの分散は、(840 + 225)/15 - 8^2 = 7
分散の別解（測量学）
10個の観測の重量p1＝1/10
5個の観測の重量p2=1/5
（重量は精度です。）
p1：p2＝1/10：1/5＝1：2
σ₂＝(p1σ²+p2σ²)/(p1+p2)
=(1×3+2×9)/(1+2)＝21/3＝7
ご確認お願い致します。
(平均) = (データの総和)/(データ数)
そこで、この関係式を逆に利用し、10個のデータの総和と5個のデータの総和をそれぞれの平均から求め、まとめて15個の平均にします。
10個のデータの総和：9 * 10 = 90
5個のデータの総和：6 * 5 = 30
以上より、
15個のデータの総和：90 + 30 = 120
よって、15個のデータの平均は、120/15 = 8
分散を求めるには、上の情報に加えて、データの平方和(2乗して足し合わせたもの)が必要です。以下の公式を利用します。
(分散) = (平方和の平均) - (平均)^2
なお、(平方和の平均) = (平方和)/(データ数)です。
考え方は、平均の場合と同じで、まずは平方和を求めます。公式を以下のように使います。
(平方和の平均) = (分散) + (平均)^2
10個のデータの平方和の平均：3 + 9^2 = 84
5個のデータの平方和の平均：9 + 6^2 = 45
よって、平方和はこうなります。
10個のデータの平方和：84 * 10 = 840
5個のデータの平方和：45 * 5 = 225
よって、15個のデータの分散は、(840 + 225)/15 - 8^2 = 7
分散の別解（測量学）
10個の観測の重量p1＝1/10
5個の観測の重量p2=1/5
（重量は精度です。）
p1：p2＝1/10：1/5＝1：2
σ₂＝(p1σ²+p2σ²)/(p1+p2)
=(1×3+2×9)/(1+2)＝21/3＝7
ご確認お願い致します。
-
ゲスト
Re: データの分析について質問があります。
説明のため、15個のデータAを$x_1,x_2 \cdots,x_{15}$とし、
初めの10個のデータ$x_1,x_2, \cdots, x_{10} $をB
$x_{11},x_{12},\cdots ,x_{15}$をCとする。
Bの平均が9であることから
\[ \frac{x_1+x_2+ \cdots +x_{10}}{10}=9\]
よって
\[ x_1+x_2+ \cdots +x_{10}=90 \cdots ① \]
また、Cの平均が6であることから
\[ \frac{x_{11}+x_{12}+ \cdots +x_{15}}{5}=6\]
よって
\[ x_{11}+x_{12}+ \cdots +x_{15}=30 \cdots ② \]
ゆえにデータAの合計は
\[(x_1+x_2+\cdots +x_{10})+(x_{11}+x_{12}+\cdots +x_{15})=90+30=120 \]
したがってデータAの平均は
\[ \frac{x_1+x_2+\cdots +x_{15}}{15}=\frac{120}{15}=8\]
データBの分散について
\[\frac{(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\cdots+ (x_{10}-9)^2}{10}=3 \]
よって
\[\frac{(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\cdots (x_{10}-9)^2}{10}=30 \]
展開して
\[x_1^2-18x_1+81+x_2^2-18x_2^2+81+\cdots+x_{10}^2-18x_{10}+81=30\]
\[x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2-18(x_1+x_2+\cdots x_{10})=30-81 \times 10 \]
①より
\[x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2=30-81 \times 10+18 \times 90=840 \cdots ③\]
データCの分散について
\[\frac{(x_{11}-6)^2+(x_{12}-6)^2+\cdots+ (x_{15}-6)^2}{5}=9 \]
よって
\[(x_{11}-6)^2+(x_{12}-6)^2+\cdots+ (x_{15}-6)^2=45 \]
展開して
\[x_{11}^2-12x_{11}+36+x_{12}^2-12x_{12}+36+\cdots+x_{15}^2-12x_{15}+36=45\]
\[x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2-12(x_{11}+x_{12}+\cdots x_{15})=45-36 \times 5 \]
①より
\[x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2=45-36 \times 5+12 \times 30=225 \cdots ④\]
③、④より
\[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2)+(x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2)=840+225=1065\]
データAの分散は
\[\frac{(x_1-8)^2+(x_2-8)^2+\cdots+ (x_{15}-8)^2}{15}=\frac{x_1^2-16x_1+64+x_2^2-16x_2+64+\cdots+x_{15}^2-16x_{15}+64}{15}\]
\[=\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2-16(x_1+x_2+\cdots +x_{15})+64 \times 15}{15}=\frac{1065-16 \times 120+64 \times 15}{15}=\frac{105}{15}=7 \]
初めの10個のデータ$x_1,x_2, \cdots, x_{10} $をB
$x_{11},x_{12},\cdots ,x_{15}$をCとする。
Bの平均が9であることから
\[ \frac{x_1+x_2+ \cdots +x_{10}}{10}=9\]
よって
\[ x_1+x_2+ \cdots +x_{10}=90 \cdots ① \]
また、Cの平均が6であることから
\[ \frac{x_{11}+x_{12}+ \cdots +x_{15}}{5}=6\]
よって
\[ x_{11}+x_{12}+ \cdots +x_{15}=30 \cdots ② \]
ゆえにデータAの合計は
\[(x_1+x_2+\cdots +x_{10})+(x_{11}+x_{12}+\cdots +x_{15})=90+30=120 \]
したがってデータAの平均は
\[ \frac{x_1+x_2+\cdots +x_{15}}{15}=\frac{120}{15}=8\]
データBの分散について
\[\frac{(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\cdots+ (x_{10}-9)^2}{10}=3 \]
よって
\[\frac{(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\cdots (x_{10}-9)^2}{10}=30 \]
展開して
\[x_1^2-18x_1+81+x_2^2-18x_2^2+81+\cdots+x_{10}^2-18x_{10}+81=30\]
\[x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2-18(x_1+x_2+\cdots x_{10})=30-81 \times 10 \]
①より
\[x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2=30-81 \times 10+18 \times 90=840 \cdots ③\]
データCの分散について
\[\frac{(x_{11}-6)^2+(x_{12}-6)^2+\cdots+ (x_{15}-6)^2}{5}=9 \]
よって
\[(x_{11}-6)^2+(x_{12}-6)^2+\cdots+ (x_{15}-6)^2=45 \]
展開して
\[x_{11}^2-12x_{11}+36+x_{12}^2-12x_{12}+36+\cdots+x_{15}^2-12x_{15}+36=45\]
\[x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2-12(x_{11}+x_{12}+\cdots x_{15})=45-36 \times 5 \]
①より
\[x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2=45-36 \times 5+12 \times 30=225 \cdots ④\]
③、④より
\[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2)+(x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2)=840+225=1065\]
データAの分散は
\[\frac{(x_1-8)^2+(x_2-8)^2+\cdots+ (x_{15}-8)^2}{15}=\frac{x_1^2-16x_1+64+x_2^2-16x_2+64+\cdots+x_{15}^2-16x_{15}+64}{15}\]
\[=\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2+\cdots+x_{15}^2-16(x_1+x_2+\cdots +x_{15})+64 \times 15}{15}=\frac{1065-16 \times 120+64 \times 15}{15}=\frac{105}{15}=7 \]