微分方程式について質問があります

[ゲスト]

微分方程式の文章題についての質問です。
ある種のバクテリアの増加率は各時刻でのバクテリアの個数xの平方根に比例する。このバクテリアは３時間で２倍になるとするとき，９時間後には最初の何倍になるか。

（解）

時刻tにおける個数をx=x(t)とすると，

dx/dt=k√x (k>0)

dx/√x=kdt

よって，√x=kt/2+c



微分方程式はこのように解けましたが，「３時間で２倍」の処理が分かりません。t=3，x=2を代入してみても，k=2/3(√2-1)c （解答より）になりません。

また，kがこの値になったとして，「９時間後には最初の何倍になるか」の解き方はどう進めればよいのか，
この問題の解答が，どうか、よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

√x=kt/2+cよりx=(kt/2+c)^2
t=0のときx=c^2
t=3のときx=(3k/2+c)^2
3時間後に2倍になるので(3k/2+c)^2=2c^2
9k^2+12ck-4c^2=0
k>0,c>0よりk={-6c+√(36c^2+36c^2)}/9=(2/3)(√2-1)c

9時間後はx=(9k/2+c)^2
={3(√2-1)c+c}^2
=(22-12√2)c^2
よって(22-12√2)倍。

：別解
x'=kx^(1/2) ('はtで微分)
x^(-1/2)*x'=1
2x^(1/2)=t+2C
x=((t/2)+C)^2
t=Tのときx=Xとすると
X=((T/2)+C)^2
2X=(((T+3)/2)+C)^2

これからCもとめて、T=T+9を入れればいいって思います
ご確認お願い致します。