不等式を満たす角の範囲について

[ゲスト]

0°≤θ≤180°のとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めよ。

tanθ＞１
この問題の答えが45°＜θ＜90°みたいなのですが、なぜ90°までになるのですか？どのように考えれば分かるようになりますか？

[ゲスト]

$\tan{\theta}$の不等式は傾きを考察して解きますが、
$\theta=90^{\circ}$のときは定義できません。
また、$90^{\circ}<\theta \leq 180^{\circ}$の場合は傾きが負または0なので
不等式を満たしません。
以上の理由によって$\theta <90^{\circ}$という制限が付きます。

[ゲスト]

90°を超えると傾きが負になる、ということは分かりました。ありがとうございます。でも90°のときが定義できないという意味がわかりません。180°のときと同じように傾き0ではないのでしょうか。

[ゲスト]

まず三角比の復習をすると、$A(1,0)$をとり、原点を中心として線分OAを反時計回りに$\theta$だけ
回転させたときに円との交点は$P(\cos{\theta},\sin{\theta})$と表される。
このとき
\[ \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \]
と定める。
$\theta=90^{\circ}$のとき$P(0,1)$より
\[\tan{90^{\circ}}=\frac{\sin{90^{\circ}}}{\cos{90^{\circ}}}=\frac{1}{0} \]
ところがゼロ除算は一定の値に定まらないので$\tan{90^{\circ}}$は定義されません。
(傾きは正の無限大にも負の無限大にもなりうる)

[ゲスト]

ありがとうございます

「ゼロ除算は一定の値に定まらない」というのは「分母に０がきたらダメ」と教わっていた、あれのことでしょうか。0で割ると色々と矛盾やら不便が生じると考えても良いのでしょうか。

また、理解力が無く大変申し訳ないのですが、最後の「傾きは正の無限大にも〜」の箇所の「無限大」の考え方が分かりません。数学Ⅰの範囲で出てくるのでしょうか。

[ゲスト]

詳しくは数学Ⅲで詳しく学びますが
正の無限大・・・限りなく大きくなる
負の無限大・・・符号が負のまま絶対値が限りなく大きくなる
という理解で大丈夫です。

[ゲスト]

丁寧に教えていただきありがとうございます

数Ⅲで扱う箇所なんですね。ちゃんと理解できてはいないでしょうが、なんとなく分かった気がします。

もっと勉強します
しつこく質問したのに、とても親切にご対応下さりありがとうございました。