三角関数について質問があります

[ゲスト]

数II

0≦θ≦πのとき、関数
y= sin2θ -2sinθ -2cosθ +1 について


①sinθ+cosθ=tとおくとき、yをtの式で表せ。

②tのとり得る値の範囲を求めよ

③yの最大値･最小値を求めよ。
また、そ
のときのθの値を求めよ。


何を使って、どのように解くのか、
そして答えが根本的にわかりません。

どなたか解答をたのみます！

[ゲスト]

$sin\theta +cos\theta=t$とおくと言われても、$sin2\theta$をどうやって$t$を使って表すのか、ですね。
２倍格の公式
$sin2\theta=2sin\theta cos\theta$を使いましょう。
①
\begin{align*}
y & =sin2\theta-2sin\theta-2cos\theta+1\\
& =2sin\theta cos\theta-2sin\theta 2cos\theta+1\\
\end{align*}
ここで
$sin\theta+cos\theta=t$の両辺を二乗して
\begin{align*}
(sin\theta+cos\theta)^2 & =t^2\\
sin^2\theta+2sin\theta+cos^2\theta & =t^2\\
1+2sin\theta cos\theta & =t^2\\
2sin\theta cos\theta & =t^2-1\\
\end{align*}
これを代入すると
\begin{align*}
y & =(t^2-1)-2t+1\\
& =t^2-1-2t+1\\
& =t^2-2t\\
& =(t-1)^2-1\\
\end{align*}
頂点$(1,-1)$、軸$t=1$のしたに凸のグラフで$t$軸とは$(0,0)$、$(2,0)$で交わることが分かる。


②
$t=sin\theta+cos\theta$より合成して

\begin{align*}
t & =sin\theta+cos\theta\\
& =\sqrt{2}sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\\
\end{align*}

よって$t$のとりうる範囲は

\begin{align*}
-1 & ≤sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)≤1\\
-\sqrt{2} & ≤\sqrt{2}sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)≤\sqrt{2}\\
-\sqrt{2} & ≤ t ≤\sqrt{2}\\
\end{align*}


③
①②を使って放物線のグラフを描き、最大値と最小値を求めましょう。
最大値
定義域の左端、$t=-\sqrt{2}$のときが一番高くなっているので、$t$に$-\sqrt{2}$を代入して
\begin{align*}
y & =(-\sqrt{2}^2-2(-\sqrt{2})\\
& =2+2\sqrt{2}
\end{align*}

\begin{align*}
\sqrt{2}sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & =1\\
sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & =\frac{\pi}{\sqrt2}\\
\theta+\frac{\pi}{4}& =\frac{\pi}{4}、\frac{3}{4}\pi\\
\theta& =0、\frac{\pi}{2}\\
\end{align*}
よって$\theta=0、\frac{\pi}{2}$のとき最大値$2+2\sqrt{2}$
最小値
グラフの軸が定義域の内側にあるので$t=1$のとき、一番低い$-1$をとる。
\begin{align*}
\sqrt{2}sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & =-\sqrt{2}\\
sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & =-1\\
\theta+\frac{\pi}{4}& =\frac{3}{2}\pi\\
\theta& =\frac{5}{4}\pi\\
\end{align*}
よって$\theta=\frac{5}{4}\pi$のとき最小値$-1$

まちがってたらごめんなさい！