漸化式の特性方程式についてわからないところがあります

[ゲスト]

数学の数列の分野についてです
一般的に、漸化式を解く際に特性方程式を用いるとうまくいきがちな理由が分かりません。初めて見るような漸化式でも、特性方程式の解を用いてなんとなく変形すると上手くいくことがあるのですが、そこの理由が分から
ないのがもどかしいです。高校生なのでそもそも特性方程式とは何かが分かっていませんが、とりあえずその数列の極限値を解にもつような方程式のことだと認識しています。曖昧な質問で恐縮なのですが、漸化式を解く際に特性方程式の会を用いると上手くいくのは何故なんでしょうか？ご回答よろしくお願いいたします。」

[ゲスト]

例えば,定数$p,q (p \neq 0,1, q \neq 0)$に対して漸化式
\[ a_{n+1}=pa_n+q \cdots ①\]
があるとします。このままでは解けないので解きやすい
等差数列型または等比数列型の漸化式に帰着することを考えます。
$p \neq 1$より等差型に帰着するのは難しいので等比型への帰着を考えます。
ある定数$\alpha$に対して
\[a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha) \]
と変形できると仮定します。
この漸化式を変形すると
\[a_{n+1}=p a_n+ \alpha (1-p)\cdots ② \]
①、②を比較して
\[q= \alpha (1-p) \]
よって
\[\alpha =p \alpha+q \]
となり、特性方程式が得られます・
簡単に言うと、うまく計算できるように変形しているのでうまくいく、という
話です。