ベクトルの外積について
私は今受験生で予備校で複数の先生から数学を習っているのですが、外積を便利だから覚えろって言う先生と外積とか要らない、ベクトルはつなぐのばす、基底、内積の3つの考えがわかれば他は何もいらないと言う先生がいてどちらの考えが自分にとって合うのかわからなくてこまってます、今のところ自分はベクトルの外積を使ったことは無いのですがどんな時に使えるのでしょうか？
例)
空間で原点以外の3点の座標が与えられており、
その3点が作る平面をαとする。
αに原点から下ろした垂線の足をHとすると、
Hの座標を求めよ。
という問題があるとすると、外積を使って解くことはできますか？
説明しやすいならA（1,0,0）、B（0,1,0）、C（0,0,1）として説明してください。
ベクトルの外積について
フォーラムルール
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
-
ゲスト
Re: ベクトルの外積について
外積は特に空間ベクトルの問題の時に便利です。
座標が与えられている場面で2直線の垂線、つまりある平面の垂直ベクトルが求められます。
この垂直ベクトルが求められると垂線の方程式や平面の方程式が求められ、平面と垂線の交点が簡単に求められたり垂線上の点から平面までの距離が簡単に求められたりします。使わなくても普通に解けます。
例を解くと、
\[ \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(-1,1,0)\]
\[ \vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=(-1,0,1)\]
外積は
\[\vec{AB} \times \vec{AC}=(1 \times 1-0 \times 0, 0 \times (-1)-(-1) \times 1,-1 \times 0- 1 \times (-1))=(1,1,1)\]
よって,平面$\alpha$の法線ベクトルの一つは
\[ \vec{n}=(1,1,1) \]
$\vec{OH}$のベクトル方程式は実数$s$を用いて
\[s\vec{n}=(s,s,s)\]
と表される。これをHの位置ベクトルとする。
Hは平面$\alpha$上にあるから
\[\vec{OH}=u\vec{OA}+v\vec{OB}+w\vec{OC}\]
となる実数$u,v,w (u+v+w=1 \cdots ①)$が存在する。
\[(s,s,s)=u(1,0,0)+v(0,1,0)+w(0,0,1)=(u,v,w)\]
よって、$u=s,v=s,w=s$
これらを①に代入して$3s=1$
\[s=\frac{1}{3} \]
Hの座標は
\[(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}) \]
座標が与えられている場面で2直線の垂線、つまりある平面の垂直ベクトルが求められます。
この垂直ベクトルが求められると垂線の方程式や平面の方程式が求められ、平面と垂線の交点が簡単に求められたり垂線上の点から平面までの距離が簡単に求められたりします。使わなくても普通に解けます。
例を解くと、
\[ \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(-1,1,0)\]
\[ \vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=(-1,0,1)\]
外積は
\[\vec{AB} \times \vec{AC}=(1 \times 1-0 \times 0, 0 \times (-1)-(-1) \times 1,-1 \times 0- 1 \times (-1))=(1,1,1)\]
よって,平面$\alpha$の法線ベクトルの一つは
\[ \vec{n}=(1,1,1) \]
$\vec{OH}$のベクトル方程式は実数$s$を用いて
\[s\vec{n}=(s,s,s)\]
と表される。これをHの位置ベクトルとする。
Hは平面$\alpha$上にあるから
\[\vec{OH}=u\vec{OA}+v\vec{OB}+w\vec{OC}\]
となる実数$u,v,w (u+v+w=1 \cdots ①)$が存在する。
\[(s,s,s)=u(1,0,0)+v(0,1,0)+w(0,0,1)=(u,v,w)\]
よって、$u=s,v=s,w=s$
これらを①に代入して$3s=1$
\[s=\frac{1}{3} \]
Hの座標は
\[(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}) \]