ベクトルの問題＊
OA=5,OB=8,AB=7である△OABを考える。このとき、∠AOB=ア°であり、△OABの面積はイである。
∠AOBの二等分線と辺ABの交点をDとし、△OABの内心をIとする。
このとき、↑OD=ウ↑OA+エ↑OBであり、↑OI=オ↑OA+カ↑OBである。
点Aを通りAIに垂直な直線と、点Bを通りBIに垂直な直線の交点をCとするとき、↑OC=キ↑OA+ク↑OBである。
このとき、四角形IACBの面積はケである。
ア～ケまで説明も込みで教えてください！
よろしくお願いします
平面ベクトルについて
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ゲスト
Re: 平面ベクトルについて
cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA*OB)=(25+64-49)/(2*5*8)=40/80=1/2
∠AOB=60°
△OAB=OA*OB*sin60°*1/2=5*8*√3/2*1/2=10√3
ここからはベクトル記号は省略します
線分ODは∠AOBの二等分線なので
|AD|:|BD|=|OA|:|OB|=5:8
Dは辺ABを5:8に内分するので
OD=(8/13)OA+(5/13)OB
∠OABの二等分線と辺OBの交点をEとすると
Eは辺OBを|OA|:|AB|=5:7に内分するので
OE=(5/12)OB
Iは線分OD上の点なので
OI=sOD=(8s/13)OA+(5s/13)OB
Iは線分AE上の点なので
OI=(1-t)OA+tOE=(1-t)OA+(5t/12)OB
2つは同じベクトルなので係数は等しい
8s/13=1-t
5s/13=5t/12
これを解いて
s=13/20
t=3/5
OI=(2/5)OA+(1/4)OB
AI=OI-OA=-(3/5)OA+(1/4)OB
BI=OI-OB=(2/5)OA-(3/4)OB
OC=uOA+vOBとすると
AC=OC-OA=(u-1)OA+vOB
BC=OC-OB=uOA+(v-1)OB
OA・OB=|OA||OB|cos60°=5*8*1/2=20
AI⊥ACなので
AI・AC=0
(-(3/5)OA+(1/4)OB)・((u-1)OA+vOB)=0
(-12OA+5OB)・((u-1)OA+vOB)=0
(-12u+12)|OA|^2+(-12v+5u-5)OA・OB+5v|OB|^2=0
25(-12u+12)+20(-12v+5u-5)+64(5v)=0
5(-12u+12)+4(-12v+5u-5)+64v=0
-60u+60-48v+20u-20+64v=0
-40u+16v+40=0
40u-16v=40
5u-2v=5
BI⊥BCなので
BI・BC=0
((2/5)OA-(3/4)OB)・(uOA+(v-1)OB)=0
(8OA-15OB)・(uOA+(v-1)OB)=0
8u|OA|^2+(8v-8-15u)OA・OB+(-15v+15)|OB|^2=0
25(8u)+20(-15u+8v-8)+64(-15v+15)=0
40u+4(-15u+8v-8)+64(-3v+3)=0
40u-60u+32v-32-192v+192=0
-20u-160v+160=0
20u+160v=160
u+8v=8
これを解いて
u=4/3
v=5/6
OC=(4/3)OA+(5/6)OB
Iは線分OD上にあり、ベクトルOCはベクトルODの実数倍なので、Dは直線OC上にある
つまり、O,I,D,Cは一直線上にある
よって、△OABと□IACBの面積比は、ベクトルODとベクトルICの大きさの比に等しい
IC=OC-OI=(4/3-2/5)OA+(5/6-1/4)
=(14/15)OA+(14/24)
=(14*8/120)OA+(14*5/120)OB
=(14/120)(8OA+5OB)
=(7/60)(8OA+5OB)
=(7*13/60)((8/13)OA+(5/13)OB)
=(91/60)OD
□IACB=(91/60)△OAB
=91/60*10√3
=91√3/6
長くなりましたが、ご確認をお願いします。
∠AOB=60°
△OAB=OA*OB*sin60°*1/2=5*8*√3/2*1/2=10√3
ここからはベクトル記号は省略します
線分ODは∠AOBの二等分線なので
|AD|:|BD|=|OA|:|OB|=5:8
Dは辺ABを5:8に内分するので
OD=(8/13)OA+(5/13)OB
∠OABの二等分線と辺OBの交点をEとすると
Eは辺OBを|OA|:|AB|=5:7に内分するので
OE=(5/12)OB
Iは線分OD上の点なので
OI=sOD=(8s/13)OA+(5s/13)OB
Iは線分AE上の点なので
OI=(1-t)OA+tOE=(1-t)OA+(5t/12)OB
2つは同じベクトルなので係数は等しい
8s/13=1-t
5s/13=5t/12
これを解いて
s=13/20
t=3/5
OI=(2/5)OA+(1/4)OB
AI=OI-OA=-(3/5)OA+(1/4)OB
BI=OI-OB=(2/5)OA-(3/4)OB
OC=uOA+vOBとすると
AC=OC-OA=(u-1)OA+vOB
BC=OC-OB=uOA+(v-1)OB
OA・OB=|OA||OB|cos60°=5*8*1/2=20
AI⊥ACなので
AI・AC=0
(-(3/5)OA+(1/4)OB)・((u-1)OA+vOB)=0
(-12OA+5OB)・((u-1)OA+vOB)=0
(-12u+12)|OA|^2+(-12v+5u-5)OA・OB+5v|OB|^2=0
25(-12u+12)+20(-12v+5u-5)+64(5v)=0
5(-12u+12)+4(-12v+5u-5)+64v=0
-60u+60-48v+20u-20+64v=0
-40u+16v+40=0
40u-16v=40
5u-2v=5
BI⊥BCなので
BI・BC=0
((2/5)OA-(3/4)OB)・(uOA+(v-1)OB)=0
(8OA-15OB)・(uOA+(v-1)OB)=0
8u|OA|^2+(8v-8-15u)OA・OB+(-15v+15)|OB|^2=0
25(8u)+20(-15u+8v-8)+64(-15v+15)=0
40u+4(-15u+8v-8)+64(-3v+3)=0
40u-60u+32v-32-192v+192=0
-20u-160v+160=0
20u+160v=160
u+8v=8
これを解いて
u=4/3
v=5/6
OC=(4/3)OA+(5/6)OB
Iは線分OD上にあり、ベクトルOCはベクトルODの実数倍なので、Dは直線OC上にある
つまり、O,I,D,Cは一直線上にある
よって、△OABと□IACBの面積比は、ベクトルODとベクトルICの大きさの比に等しい
IC=OC-OI=(4/3-2/5)OA+(5/6-1/4)
=(14/15)OA+(14/24)
=(14*8/120)OA+(14*5/120)OB
=(14/120)(8OA+5OB)
=(7/60)(8OA+5OB)
=(7*13/60)((8/13)OA+(5/13)OB)
=(91/60)OD
□IACB=(91/60)△OAB
=91/60*10√3
=91√3/6
長くなりましたが、ご確認をお願いします。