部分和の極限値について
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ゲスト
Re: 部分和の極限値について
ここら辺、高校数学では"限りなく近づく"としか説明されず
証明の道具がないので、何をもって正しいと判断していいか
確かに難しいところかと思います。
添え字が分かりにくくなるのでS2nなどの代わりにS[2n]などと
書きますね。
＞S[２n]の極限とS[2n-1]の極限が異なると発散
もしS[k]がある値に収束しているなら、
kを十分大きくしていくとその収束先に限りなく近づいていくので、
kが偶数だけ選んだ場合も偶数だけ選んだ場合も同じ値に
限りなく近づいていないとだめですよね。
だから、もし奇数と偶数の項だけ取り出して収束先が違ったら、
もともとの数列は収束していない、つまり発散していることになります。
ちなみに大学の数学を遣うと、これらはもっと厳密に証明できる内容です。
＞S[２n]の極限とS[2n-1]の極限が同じだと収束
S[2n]もS[2n-1]もαに収束するとします。
すると、自然数kを限りなく大きくしていったとき、
S[k]はkが偶数であっても奇数であってもαに限りなく近い
数を取っていくわけなので、数列{S[k]}としてもαに
限りなく近づいていきます。
だから、S[k]としてもαに収束します。
証明の道具がないので、何をもって正しいと判断していいか
確かに難しいところかと思います。
添え字が分かりにくくなるのでS2nなどの代わりにS[2n]などと
書きますね。
＞S[２n]の極限とS[2n-1]の極限が異なると発散
もしS[k]がある値に収束しているなら、
kを十分大きくしていくとその収束先に限りなく近づいていくので、
kが偶数だけ選んだ場合も偶数だけ選んだ場合も同じ値に
限りなく近づいていないとだめですよね。
だから、もし奇数と偶数の項だけ取り出して収束先が違ったら、
もともとの数列は収束していない、つまり発散していることになります。
ちなみに大学の数学を遣うと、これらはもっと厳密に証明できる内容です。
＞S[２n]の極限とS[2n-1]の極限が同じだと収束
S[2n]もS[2n-1]もαに収束するとします。
すると、自然数kを限りなく大きくしていったとき、
S[k]はkが偶数であっても奇数であってもαに限りなく近い
数を取っていくわけなので、数列{S[k]}としてもαに
限りなく近づいていきます。
だから、S[k]としてもαに収束します。