極方程式について質問があります

[ゲスト]

極座標、極方程式について
(a、0)を中心とする半径aの円を表す方程式は r=2acosθ になる というのは、たしかに円上の点はすべて満たしそうですけれど、それ以外の点はこの方程式を満たさな
いというのは絶対なのですか？ この円の場合は他の点は満たさないと思いますが、なんだか、教科書等にあるこのような方程式を導く過程が大ざっぱに思えるので…<0の場合の定義もありますし、もっと場合分けなどして説明するものなのかなと思っていたのですけど、、。 何が疑問なのかも曖昧な
ご回答よろしくお願いします。ので曖昧な質問になりすみません。

[ゲスト]

一つのθに対して値が一つだけ定まる。こういうものを関数と言います。
三角関数cosθはθの関数です。一つのθに対してcosθの値は一つだけです。

仮に、「方程式を満たす、それ以外の（円周上にない）点」があったとしましょう。その点の座標を極座標で、(R,Θ)と表すことにしましょう。
このとき、方程式が満たされるという仮定から
R＝2acosΘ
となります。

このとき、図を描けば明らかですが。それでも納得いかなければ、
X=RcosΘ
Y=RsinΘ
と置けば、簡単に(X-a)^2+Y^2=a^2
を証明できます。
つまり、この点は円周上に乗っかってしまうので矛盾です。（背理法）