双曲線の標準形について

[ゲスト]

双曲線の標準形の公式の逆はどのように確認すればいいのですか？
公式からイコール2aを出す方法が分かりません
よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

一応、まず、x²/a²-y²/b²=1...①の導出過程を考えます。

x軸上に焦点F'(-c,0),F(c,0)の2点がある。(c＞0)

点Pが|PF-PF'|=2a...②を満たしながら移動する時、点Pの軌跡は

①の双曲線を描く事を示します。

△PFF'が存在するための条件から、c＞a ....③

(1)...PF＞PF’の時、(この時、点Pは、x＜0に存在する)

√{(x-c)²+y²}-√{(x+c)²+y²}=2a

√{(x-c)²+y²}=2a+√{(x+c)²+y²}

両辺を2乗して、

(x-c)²+y²=4a²+4a√{(x+c)²+y²}+(x+c)²+y²

-4cx-4a²=4a√{(x+c)²+y²}

4で割って、

-cx-a²=a√{(x+c)²+y²}

2乗して、

c²x²+2a²cx+a⁴=a²{(x+c)²+y²}

(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)

a²(c²-a²)で割って、

x²/a²-y²/(c²-a²)=1

ここで、③より、c²-a²＞0だから、c²-a²=b²と置けば、

x²/a²-y²/b²=1

が得られます。但し、x＜0

(2)...PF＜PF’の時、(この時、点Pは、x＞0に存在する)

√{(x+c)²+y²}-√{(x-c)²+y²}=2a

√{(x-c)²+y²}=√{(x+c)²+y²}-2a

(x-c)²+y²=(x+c)²+y²-4a√{(x+c)²+y²}+4a²

-4cx=-4a√{(x+c)²+y²}+4a²

4a√{(x+c)²+y²}=4a²+4cx

a√{(x+c)²+y²}=a²+cx

a²{(x+c)²+y²}=(a²+cx)²

a²x²+a²c²+a²y²=a⁴+c²x²

a²(c²-a²)=(c²-a²)x²-a²y²

a²(c²-a²)で割って、

1=x²/a²-y²/(c²-a²)

よって、

x²/a²-y²/b²=1....(c²-a²=b²と置いて)

が得られます。但し、x＞0

よって、

xの値にかかわらず、点Pの軌跡は、

x²/a²-y²/b²=1

(ただし、b²=c²-a²)

--------

逆に、

x²/a²-y²/b²=1...④を考えます。(ただし、b²=c²-a² だから c＞a...⑤)

④に⑤を代入すると、

x²/a²-y²/(c²-a²)=1

a²(c²-a²)を掛けて、

(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²)

c²x²-a²x²-a²y²=a²c²-a⁴

c²x²+2a²cx+a⁴=a²x²+2a²cx+a²c²+a²y²

c²x²+2a²cx+a⁴=a²{(x+c)²+y²}

(cx+a²)²=a²{(x+c)²+y²}

2乗根をとって、

±(cx+a²)=a√{(x+c)²+y²}

(1)...-(cx+a²)=a√{(x+c)²+y²}の時、

4倍して、-4cx=4a²+4a√{(x+c)²+y²}

-2xc+c²=4a²+4a√{(x+c)²+y²}+2cx+c²

x²-2xc+c²+y²=4a²+4a√{(x+c)²+y²}+x²+2cx+c²+y²

(x-c)²+y²=4a²+4a√{(x+c)²+y²}+(x+c)²+y²

(x-c)²+y²={2a+√{(x+c)²+y²}}²

2乗根をとって、2a+√{(x+c)²+y²}＞0だから、

√{(x-c)²+y²}=2a+√{(x+c)²+y²}

√{(x-c)²+y²}-√{(x+c)²+y²}=2a

よって、

FP-F'P=2a

(2)...(cx+a²)=a√{(x+c)²+y²}の時、

-(cx+a²)=-a√{(x+c)²+y²}

-4(cx+a²)=-4a√{(x+c)²+y²}

-4cx=-4a√{(x+c)²+y²}+4a²

(x-c)²+y²=(x+c)²+y²-4a√{(x+c)²+y²}+4a²

(x-c)²+y²={√{(x+c)²+y²}-2a}²

よって、

√{(x-c)²+y²}=±{√{(x+c)²+y²}-2a}

(i)...−の時、

√{(x-c)²+y²}+{√{(x+c)²+y²}=2a

FP+F'P＞FF'=2c＞2aだから、この式の解はない。

(ii)...＋の時、

√{(x+c)²+y²}-{√{(x-c)²+y²}=2a

F'P-FP=2a