二次方程式の解と係数の関係について

[ゲスト]

2次方程式の2つの解をα、βとする問題
●2次方程式 6x^2+4x+3=0の2つの解をα、βとするとき次の式の値を求めよ
(1)(2-α)(2-β)
(2)(α-β)^2


●2次方程式 x^2+x+2=0の2つの解をα、βとするとき
次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ
(ア)β/α , α/β
(イ)α^3 , β^3


この系統の問題の解き方がわかりません
解き方を教えてください

[ゲスト]

解と係数の関係はご存じでしょうか？
2次方程式$ ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解をα、βとするとき

$ax^2 + bx + c = 0$
∴a ( x - α)( x - β)=0

と書き換えられるので

α+β= - b /a
αβ= c /a
となる。という公式です。これを用います。

<上の問題>
●2次方程式 $6x^2+4x+3=0$の2つの解をα、βとするとき次の式の値を求めよ
の場合ですと
α+β= - 2 /3
αβ= 1 / 2
となるので
(1)(2-α)(2-β) = 4 -2(α+β)+αβ= 4 + 4/3 + 1/2
(2)$(α-β)^2 = (α+β)^2 - 4αβ= (- 2/3)^2$ - 4 * 1/2
です

下の問題の場合
●2次方程式 $x^2+x+2=0$の2つの解をα、βとする
の場合ですと
α+β= - 1
αβ= 2
となります。

一方で
(ア)β/α , α/β
(イ)$α^3 , β^3$
を解にする式の例として
(ア)( x - β/α)( x - α/β) = 0
(イ)( x - $α^3$)( x -$ β^3$) = 0
が挙げられますよね？実際にxにこれらの値を代入すると式が成立しますし♪

・・・ということで展開すれば
(ア)$x^2$ - (β/α + α/β)x + 1 = 0
(イ)$x^2$ - ($α^3$ + $β^3$)x + $(αβ)^3$ = 0
となります。よって(β/α + α/β)と($α^3$ +$β^3$)が分かればあとは代入すれば解決ですね☆

するとここで
β/α + α/β = ($α^2 + β^2$) / αβ
$α^2 + β^2$ = $( α + β)^2 $- 2αβ
$α^3 + β^3$ = $( α + β )^3$ -3αβ(α + β)
という関係を見出せます。最初は中々気付きにくいでしょうが、パズルのようにして(α+β)と(αβ)で式を表す練習をしましょう。そのうち慣れるはずですｗｗｗ頑張って下さい。