図形が動いてグラフを書く問題

[ゲスト]

動いているわけではないので、想像するのが難しくて、グラフが書けません。
式とグラフと教えてください。

[ゲスト]

順番に解説していきます。

（１）
三角形の面積に注目してみましょう。
すると角度が45°の直角二等辺三角形であることがわかります。
ですので、辺と斜辺の比1:1:√2という関係から、添付１のように三角形の高さもxcmになります。

よって、yをxの式で表すと下記のようになります。
\begin{equation}
y=x・x・\frac{1}{2}=\frac{x^2}{2}
\end{equation}

注意してもらいたいのが、カッターナイフがどんどん先に出ても、0≦x≦4の間なら高さは底辺と同じ長さxになることです。
刃が斜めに出ている間だけは底辺と高さが同じですね。それより進んでしまうと（つまりxが4を超えると）台形のような形になって底辺と高さは一致しなくなります。

（２）
上記でも簡単に触れましたが、xが4を超えると、押し出された部分の形は三角形ではなく台形になります。
yの値は台形の面積になるので、それを求めるのに必要な上辺・下辺・高さを求めていきます。
添付２を見てください。

\begin{equation}
上辺：x-4 cm
下辺：x cm
高さ：4
\end{equation}
この場合だと高さはずっと変わらず4のままですよね

ですので、面積yの式は以下のようになります。

\begin{equation}
y=（上辺＋下辺）・高さ・\frac{1}{2}=(x-4+x)・4・\frac{1}{2}=2(2x-4)=4x-8
\end{equation}

よってx≧4のときは以下の式なります。

\begin{equation}
y=4x-8
\end{equation}

（３）
（１）の範囲では二次関数、（２）の範囲では直線の式になることがわかったと思います。
整理すると以下の通りです。
\begin{equation}
0≦x<4のとき：y=\frac{x^2}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
x≧4のとき：y=4x-8
\end{equation}
よって、グラフにすると添付３のようになります。

[ゲスト]

はじめに出ている三角形が、どれだけ出ていても三角形である間は1:1:√2の直角三角形なんですね！小さくても大きくても、直角の部分と45°の場所があるから分かるんですね！
グラフも二次関数のグラフと一次関数のグラフの組み合わせたものになるのが分かりました。図がとても分かりやすかったです！ありがとうございました！