sin2α＝sin3α （0≦α<2π)解くと、
α＝0,π/5,3π/5,π,7π/5,9π/5となり、α＝0を除くと単位円上に正五角形ができますが、このような三角方程式の解が単位円上では正多角形になるのはなぜですか？
三角関数の方程式について
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ゲスト
Re: 三角関数の方程式について
その方程式を幾何的に捉えると次のようになります。
z=cosα+isinα
とすると
sin3αはz³の虚部なので
sin3α=(z³-z¯³)/2i (z¯はzの共役)
同様に
sin2α=(z²-z¯²)/2i
したがって
sin3α=sin2α
z³-z¯³=z²-z¯²
|z|=1 より、z¯=1/z
z³-1/z³=z²-1/z²
z⁶-1=z⁵-z
(z⁵+1)(z-1)=0
z⁵+1=0, z-1=0
z⁵-1=0 を満たすzは、z=1を頂点の一つとして、単位円周上にある正5角形の頂点です。(円分方程式)
z⁵+1=0 を満たすzも同様に、z=-1を頂点の一つとする正5角形の頂点を表します。
z=cosα+isinα
とすると
sin3αはz³の虚部なので
sin3α=(z³-z¯³)/2i (z¯はzの共役)
同様に
sin2α=(z²-z¯²)/2i
したがって
sin3α=sin2α
z³-z¯³=z²-z¯²
|z|=1 より、z¯=1/z
z³-1/z³=z²-1/z²
z⁶-1=z⁵-z
(z⁵+1)(z-1)=0
z⁵+1=0, z-1=0
z⁵-1=0 を満たすzは、z=1を頂点の一つとして、単位円周上にある正5角形の頂点です。(円分方程式)
z⁵+1=0 を満たすzも同様に、z=-1を頂点の一つとする正5角形の頂点を表します。