直線とパラメーターについて

[ゲスト]

ある直線がパラメータkとともに表されている時、その直線の不動点を求めることは、
単にその方程式をkについての恒等式として見立てて考えているということで良いのでしょうか？
正確には全称記号kの〜で表されたものなので、一般には記号がつく文字について解くと良いと教わりました。

[ゲスト]

はい、その理解で大丈夫です。

ある直線がパラメータ k を使って表されていて、その直線の「不動点」を求めるというのは、「どんな k のときでも必ずその点を通る」ということです。

だから、その直線の式を k に関する恒等式として見て、「すべての k に対して成り立つには、x やy がどうなればいいか？」というふうに考えます。

これはつまり、「変数 k に記号がついていて、どんな値を入れても式が成り立つようにするには、他の文字（ふつうは x や y）が特定の値にならないといけないよね」という話です。

だから、具体的にはその式を整理して、 k に関係する項の係数がすべて0になるようにすればOKです。

そうすると、「どんな k にも対応できる」＝「不動点」になります。

例えば、下記のような式があったとします。
\begin{equation}
kx + y - k = 0
\end{equation}

この式は、kをいろいろ変えることで直線が動くという意味です。

では、「どんなkのときでも必ず通る点（不動点）」を見つけるにはどうすればいいかというと、この式が すべてのkに対して成り立つ、つまり恒等式になるように考えます。

この式を整理すると、以下のようになります。
\begin{equation}
kx + y - k = k(x - 1) + y
\end{equation}

これが恒等式になるためには、どんなkを入れても必ず0になる必要があります。

恒等式とは、「文字にどんな値を入れても常に等しい式」のことです。

たとえば、2k + 3 = 2k + 3や、k(x - 1) + y = 0がどんなkに対しても成り立つためには、左辺のkに関係する部分が全部0になってないといけません。

さっきの式k(x - 1) + y = 0に戻ると、これが恒等式になるには、kの係数x - 1 = 0定数項 y = 0の2つが成り立つ必要があります。

つまり、
\begin{equation}
x = 1,\quad y = 0
\end{equation}
このときだけ、どんなkを入れても式が成り立つ＝どんな直線でもこの点を通る、ということになります。

これが不動点の求め方です。恒等式を使って、不動点の条件を見つけるというのは、そういう意味です。