微分と証明の複合問題

[ゲスト]

nを自然数とするとき、すべての正の数xに対して、
logx+a/x^n>0が成り立つための実数aの範囲をnを用いて表せ。
この問題分かりやすく教えて下さい。お願いします。

[ゲスト]

^は累乗を表します。
まずはf（x）＝logx＋a/x^nとおいてやります。
お約束のグラフを書きます。そのために微分します。
ｆ’＝1/x-na/x^（n+1）＝（x^n-na)/ｘ＾（n+1)
よってx=（na)^（1/n）のときに極値を取る
このときaが負の場合は満たすxが存在しないので、極値はとらないことになる。ｆ’は常に正なので単調増加となります。f(1)＝a＜0にてf(x)＞0を満たさない。
よって０＜ｘ＜（na）^1/nのときは減少、（na）^1/n＜xのときは増加となる。
よってｘ＝（na）^1/nの時に極小かつ最少をとる。
このときf（x)＝（logna+1）/nなので
logna+1が常に正ならば条件を満たすことになる。
よって解答はa＞1/neとなります。

次にf（x）を-x^nlogxとして解きましょう。この方がエレガントっぽいですね。
つまり与えられた式にx^nをかけてしまってから解く方法です。
f（x）<aを満たすように条件を求めればよいことになります。
同じようにグラフを書きます。
微分します。
f’＝-x^（n-1）（nlogx+1）となり
x=e（-1/n）のときにf’＝0となる。これより小さいときは正、大きいときは負。よってf（x）はx=e（-1/n）のときに極大かつ最大をとる。このときのf（x）＝1/neとなる。
よって解答はa＞1/neとなります。

結局は微分してグラフを書くっていう問題です。この手の問題は私もたくさん解きましたし、幅広く問題として出されます。確実にできるようにしておきましょう。