複素数平面の問題です。
(1)は解けたと思います。両辺2乗して整理すると|z-√2i|=2となり、円になると思います。
(2)、(3)が分かりません。解説をお願いしたいです。
複素数平面の条件が分からないです
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Re: 複素数平面の条件が分からないです
まず(1)ですが、方程式が
a|z-α| = b|z-β| (a,b > 0) の形のとき、式が表す図形は
a = bなら垂直二等分線、a ≠ bならアポロ二ウスの円です。
(aAP = bBP というベクトル方程式だと考えれば分かると思います)
なので、今回の場合は2点0, -√2iを1 : √2に内分・外分する点を直径とする円がCであるとして図示することができます。
(2)を解きます。
√2|z| = |z+√2i| ⇔ |(z+√2i)/z| = √2 (z=0は左辺を満たさない) より、|(z+√2i)/z| = √2 は常に成り立つ。
|w| = |z+2/z|
= |($z^2$+2)/z)|
= |(z+√2i)(z-√2i)/z)|
= |z-√2i||(z+√2i)/z|
= 2√2
∴|w| = 2√2
(3)を解きます。
Im(w) = (w-w*)/2i
= (z-z*+2/z-2/z*)/2i
= ((z-z*)/2i)(1-2/|z|^2)
= Im(z)(1-2/|z|^2)
ここで、zを極形式で表すと
z = 2cosθ+(2sinθ+√2)i
$|z|^2$ = 4√2sinθ+6
Im(z) = 2sinθ+√2
Im(w) = (2sinθ+√2)(1-1/(2√2sinθ+3))
t = sinθ とおくと、θが 0 ≦ θ < 2π を動くときtは -1 ≦ t ≦ 1 を動き、
f(t) = (2t+√2)(1-1/(2√2t+3)) とおくと
f'(t) = 8(t+√2)(2t+√2)/(2√2t+3)^2
f(-1) = f(1) = 2√2、f(-1/√2) = 0 なので、増減表を書けば 0 ≦ f(t) ≦ 2√2
よって、Im(w)の取り得る値の範囲は 0 ≦ Im(w) ≦ 2√2。
ご確認をお願いします。
おまけ
やり方としては，前の方の回答とほぼ同じだと思います。
z=2cosθ+i(2sinθ+√2) として，|z+2/z|²=8 を得ます。
ただ，その計算過程がやたら面倒で，吐きそうになります。
次のは，0≦Im(w)≦2√2 です。
|w|=2√2 ですから，Im(w)≦2√2 はすぐわかります。
問題にはないですが，Im(w)≧0を言うには，私は，y=Im(z+2/z) として，上記のsincosで表したzを代入してやれば，y=(sinの2次式)/(sinの1次式) となりますので，
分母を払ってやることで，sinの2次方程式が-1≦sinθ≦1 で解を持つということで，あの数Ⅰでやった判別式と軸とf(-1),f(1)から求めました。（判別式だけで済みます）
・・・それがあまりにダサいので，投稿しませんでした。ダサい解きかたしかできない自分が恥ずかしいです。
もう少し，格好良い方法で解こうと試みてはいるのですが，，，，
|z-√2i|=2 を，w'=2/z で変換してやると，|w'-√2i|=2 となります。
同じ円になります。
ですが，対応する点が違います。
（以下のθは，先ほどのθとは異なる値ですので，注意して読んでください）
z=r(cosθ+isinθ) とすれば，w'=2/z=(2/r)(cosθ-isinθ) となり，別な点が対応することがわかります。
ですから，w=z+w' は0，z，w' で作られる平行四辺形の残りの点です。
あと，わかったことは，0，z，w' を通る円は，√2i を通るということです。
(z-√2i)/(w'-√2i)÷(z-0)/(w'-0) が実数であることから証明できます。
従って，z，w' を結ぶ線分の長さは，4sinθ であることがわかります。
後は中線定理で，|w|=2√2 は簡単に（？）出せます。
a|z-α| = b|z-β| (a,b > 0) の形のとき、式が表す図形は
a = bなら垂直二等分線、a ≠ bならアポロ二ウスの円です。
(aAP = bBP というベクトル方程式だと考えれば分かると思います)
なので、今回の場合は2点0, -√2iを1 : √2に内分・外分する点を直径とする円がCであるとして図示することができます。
(2)を解きます。
√2|z| = |z+√2i| ⇔ |(z+√2i)/z| = √2 (z=0は左辺を満たさない) より、|(z+√2i)/z| = √2 は常に成り立つ。
|w| = |z+2/z|
= |($z^2$+2)/z)|
= |(z+√2i)(z-√2i)/z)|
= |z-√2i||(z+√2i)/z|
= 2√2
∴|w| = 2√2
(3)を解きます。
Im(w) = (w-w*)/2i
= (z-z*+2/z-2/z*)/2i
= ((z-z*)/2i)(1-2/|z|^2)
= Im(z)(1-2/|z|^2)
ここで、zを極形式で表すと
z = 2cosθ+(2sinθ+√2)i
$|z|^2$ = 4√2sinθ+6
Im(z) = 2sinθ+√2
Im(w) = (2sinθ+√2)(1-1/(2√2sinθ+3))
t = sinθ とおくと、θが 0 ≦ θ < 2π を動くときtは -1 ≦ t ≦ 1 を動き、
f(t) = (2t+√2)(1-1/(2√2t+3)) とおくと
f'(t) = 8(t+√2)(2t+√2)/(2√2t+3)^2
f(-1) = f(1) = 2√2、f(-1/√2) = 0 なので、増減表を書けば 0 ≦ f(t) ≦ 2√2
よって、Im(w)の取り得る値の範囲は 0 ≦ Im(w) ≦ 2√2。
ご確認をお願いします。
おまけ
やり方としては，前の方の回答とほぼ同じだと思います。
z=2cosθ+i(2sinθ+√2) として，|z+2/z|²=8 を得ます。
ただ，その計算過程がやたら面倒で，吐きそうになります。
次のは，0≦Im(w)≦2√2 です。
|w|=2√2 ですから，Im(w)≦2√2 はすぐわかります。
問題にはないですが，Im(w)≧0を言うには，私は，y=Im(z+2/z) として，上記のsincosで表したzを代入してやれば，y=(sinの2次式)/(sinの1次式) となりますので，
分母を払ってやることで，sinの2次方程式が-1≦sinθ≦1 で解を持つということで，あの数Ⅰでやった判別式と軸とf(-1),f(1)から求めました。（判別式だけで済みます）
・・・それがあまりにダサいので，投稿しませんでした。ダサい解きかたしかできない自分が恥ずかしいです。
もう少し，格好良い方法で解こうと試みてはいるのですが，，，，
|z-√2i|=2 を，w'=2/z で変換してやると，|w'-√2i|=2 となります。
同じ円になります。
ですが，対応する点が違います。
（以下のθは，先ほどのθとは異なる値ですので，注意して読んでください）
z=r(cosθ+isinθ) とすれば，w'=2/z=(2/r)(cosθ-isinθ) となり，別な点が対応することがわかります。
ですから，w=z+w' は0，z，w' で作られる平行四辺形の残りの点です。
あと，わかったことは，0，z，w' を通る円は，√2i を通るということです。
(z-√2i)/(w'-√2i)÷(z-0)/(w'-0) が実数であることから証明できます。
従って，z，w' を結ぶ線分の長さは，4sinθ であることがわかります。
後は中線定理で，|w|=2√2 は簡単に（？）出せます。