図形の問題

[ゲスト]

正弦定理、余弦定理の練習をしたいのですが、”余弦定理を使えばいい”と分かっていてもうまく使えません。詳しい解説をお願いします。

[ゲスト]

$△EBD$に着目するといいです。
$AE=ED=x$、$AF=FD=y$とおく。
$EB=3-x$、$BD=1$なので$△EBD$に余弦定理を用いて、
\begin{align}
x^2 &= (3-x)^2+1^2-2(3-x)\cdot1\cdot \cos60° \\
x^2 &= x^2-5x+7\\
x &= \frac{7}{5} \\
\end{align}

また、$△FCD$について同じように
\begin{align}
y^2 &= (3-y)^2+2^2-2(3-y)\cdot2\cdot \cos60° \\
y^2 &= y^2-4y+7\\
y &= \frac{7}{4} \\
\end{align}

よって
\begin{align}
△EFD &=\frac{1}{2}\sin60°\\
& =\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{7}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\
& =\frac{49}{80}\sqrt{3}
\end{align}

[ゲスト]

問題をイメージしやすくするために図を書いてみましょう。
添付１をご覧ください。
正三角形を問題文のとおり折り曲げるとこんな感じになります。

求めたいDEの長さをxとおくと、Eが折り曲げた点でありABの長さが3であることから、BEは以下のように表せられます。
\begin{equation}
BE=3-DE=3-x
\end{equation}

ここで三角形BDEに注目して余弦定理を使ってDEを求めていきましょう。

\begin{equation}
x^2=BE^2+BD^2-2×BE×BD×cosB
\end{equation}

\begin{equation}
x^2=(3-x)^2+1^2-2×(3-x)×1×cos60°
\end{equation}

\begin{equation}
x^2=9-6x+x^2+1-2×(3-x)×1×\frac{1}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
x^2=10-6x+x^2-3+x
\end{equation}

\begin{equation}
x=\frac{7}{5}
\end{equation}


次に三角形EDFの面積を求めます。先ほどの答えを合わせて図にすると添付２のようになります。

ここで復習ですが、三角形EDFの面積の公式は三角比を使うと以下のように表せられます。
\begin{equation}
面積S=\frac{1}{2}・a・b・sinC
\end{equation}

これをこの問題に当てはめてみると、あとDFの長ささえわかれば面積が求められますよね。

上記と同じ方法でDFを求めていきましょう。
DFをyとおくとCFは以下のように表せられます。
\begin{equation}
CF=3-DF=3-y
\end{equation}

ここで三角形CDEに注目して余弦定理を使ってDFを求めていきましょう。

\begin{equation}
y^2=CF^2+CD^2-2×CF×CD×cosC
\end{equation}

\begin{equation}
y^2=(3-y)^2+2^2-2×(3-y)×2×cos60°
\end{equation}

\begin{equation}
y^2=9-6y+y^2+4-2×(3-y)×2×\frac{1}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
y^2=13-6y+y^2-12+4y
\end{equation}

\begin{equation}
y=\frac{1}{2}
\end{equation}

したがって、DE=7/5、DF=1/2、sin60°=√3/2であるから、求めたい三角形CDEの面積は以下のようになります。

\begin{equation}
面積S=\frac{1}{2}・DE・DF・sinC
\end{equation}


\begin{equation}
面積S=\frac{1}{2}・\frac{7}{5}・\frac{1}{2}・\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
面積S=\frac{7\sqrt{3}}{40}
\end{equation}

問題の回答としては終わりですが、正弦定理と余弦定理の使い方について悩まれているそうなので補足します。

正弦定理と余弦定理は主に以下のような使い分けをします。

3辺がわかってる場合：余弦定理を使ってどの角も導き出せる
2辺とその間の角がわかってる場合：余弦定理でその角の対辺を出せる
1辺とその対角、もしくはもう1つの辺または角がわかってる場合：正弦定理を使って他の角や辺を出せる
角が2つとその対辺のどちらか1辺がわかってる場合：正弦定理を使えば他方の対辺を出すのが簡単

絶対この通りというわけではありませんが、練習のうちはこのような使い分けを頭の片隅におきながら演習すれば良いでしょう。添付３にイメージ図も載せていますので、併せてご確認ください。