二次関数と直線の交点の軌跡に関する問題です

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至急お願いします
円x^2+y^2=9と直線y=mx+2が異なる2点A,Bで交わる時線分ABの中点Mの軌跡を求めよという問題が分かりません...

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交点のx座標は $x^2+(mx+2)^2=9$ の 解として表現される。
この方程式は $(m^2+1)x^2+4mx-5=0$ と整理される。
m^2+1>0 がすべての実数 m で成立するので、
これは m の値に関わらず x に関する二次方程式であるといえる。
また、xについての二次方程式の解の判別式Dについては
$D/4=(2m)^2+5(m^2+1)=9m^2+5>0$ となるので、
全ての実数 m について相異なる交点 A, B が存在することが分かる。
以下、A(x[a],y[a]), B(x[b],y[b]) とする。

さて、2つの交点の x 座標の和は、二次方程式の解と係数の関係から
$x[a]+x[b]=-4m/(m^2+1) $である。中点はこれを 1/2 にした
$(x[a]+x[b])/2=-2m/(m^2+1) $となる。

また、y座標については y[a]=mx[a]+2, y[b]=mx[b]+2 が成り立つことから
$(y[a]+y[b])/2=m(x[a]+x[b])/2+2=-2m^2/(m^2+1)+2$
となる。

以上より、mを媒介変数として
$x=2m/(m^2+1)$,$ y=-2m^2/(m^2+1)+2$ と表される。
これらの式から単純に m を消去すると、
x≠0 のとき m=-(y-2)/x の関係から
$x^2+(y-1)^2=1 $とすることができる。
また、x=0 のときは y=2 であり、これは$ x^2+(y-1)^2=1$ に含まれる。

以上から、求める軌跡は
$x^2+(y-1)^2=1 $のうち 点(0,0) を除いたものとなる。

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円x^2+y^2=9と直線y=mx+2が異なる2点A,Bで交わる時線分ABの中点Mの軌跡

軌跡の問題では、対象となる座標のx座標とy座標をそれぞれ文字で表すことが必要です。
ここでいう文字とは、この問題だとmのことです。
おおまかな方針としては中点Mのx座標とy座標をそれぞれmを使って表し、最終的にmを消してxとyだけの式で表すことになります。
軌跡といっても、関数ですからね。

ではまず、わかりやすくするために問題文をグラフにしてみます。添付１をご覧ください。
問題文はこのようになります。

次に、交点A・Bを求めます。
円x^2+y^2=9と直線y=mx+2の連立方程式の解がそれぞれ交点のx座標になるので、これを解いてみます。

\begin{equation}
x^2+(mx+2)^2=9
\end{equation}

\begin{equation}
x^2+m^2x^2+4mx+4=9
\end{equation}

\begin{equation}
(1+m^2)x^2+4mx-5=0・・・※
\end{equation}

ここで、解と係数の関係から、交点の座標をx1、x2とおくと以下のような関係式になります。

\begin{equation}
x_1+x_2= \frac{-4m}{(1+m^2)}
\end{equation}

また、交点のy座標をそれぞれy1、y2とおきます。
するとこれらはy=mx+2上の点であるので、以下の式を満たします。

\begin{equation}
y_1 = mx_1 + 2、y_2 = mx_2 + 2
\end{equation}

図にすると添付２のようになります。

よって、

\begin{equation}
y_1+y_2= m(x_1+x_2)+4= \frac{-4m^2}{(1+m^2)}+4
\end{equation}

ここで、なぜわざわざ解と係数の関係を使って、x1+x2とy1+y2の値を出したかというと、中点Mの座標は次のようにして表せられるからです。

\begin{equation}
中点Mの座標\quad
x= \frac{x_1+x_2}{2} \quad y= \frac{y_1+y_2}{2}
\end{equation}

わざわざ交点を１つずつ求めなくても、このように簡単にmの式で表せられるのです。

ですので、中点Mの座標はそれぞれmを使って以下のように表せられます。

\begin{equation}
中点Mの座標\quad
x= \frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-4m}{2(1+m^2)} = \frac{-2m}{(1+m^2)}
\quad
y= \frac{y_1+y_2}{2}= \frac{-2m^2}{(1+m^2)}+2=\frac{-2m^2+2+2m^2}{(1+m^2)}=\frac{2}{(1+m^2)}

\end{equation}

また、mはy=mx+2を満たすため以下のように表せられます。
\begin{equation}
m= \frac{y-2}{x}\quadただしx\ne0・・・①
\end{equation}

したがって、これらの式からmを消したxとyの式にすると下記のようになります。
\begin{equation}
x= \frac{-2m}{(1+m^2)} = -my=-y\times\frac{y-2}{x}
\end{equation}

\begin{equation}
x^2= -y^2+2y
\end{equation}

\begin{equation}
x^2+y^2-2y=0
\end{equation}

\begin{equation}
x^2+(y-1)^2=1
\end{equation}

したがって、中点Mの軌跡は円x^2+(y-1)^2=1 になります。
ただし①よりx=0,y=0を除きます。なお軌跡のイメージは添付３のようになります。

※
ちなみに、解と係数の関係を使わずに力技で交点の座標を出そうとするとかなり大変になります。解の公式を使ってしまうと、この方程式を満たすxの値は以下の通りです。

\begin{align}
x &=\frac{-4m±\sqrt{16m^2+20(1+m^2)}}{2(1+m^2)} \\
&=\frac{-4m±\sqrt{16m^2+20+20m^2}}{2+2m^2} \\

&=\frac{-4m±\sqrt{36m^2+20}}{2+2m^2} \\

&=\frac{-2m±\sqrt{9m^2+5}}{1+m^2} \\

\end{align}

また、このときのyの値は直線の式に代入すると出てきます。

\begin{align}

y &=mx+2\\

&=m\frac{-2m±\sqrt{9m^2+5}}{1+m^2}+2 \\



\end{align}

xとyをなんとかmで表すことができましたが、かなり複雑な値になってしまいましたね。ここからmを消してxとyだけの式にもできますが、解と係数の関係を使った方が計算が楽であることがわかります。

ポイントは、求めたいのはあくまで中点の座標です。交点は解法の途中で必要なだけですので、簡略できるところは公式をうまく使って省略することをおすすめします。