三平方の定理の文章問題

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AC<BCかつ∠C=90°である直角三角形ABCがある。
線分ABの中点を点Oとして、半径の長さがOAである半円を描く。
∠Aの二等分線と半円の弧の交点を点Dとする。
さらに、線分BCと線分ODの交点を点E、線分BCと線分ADの交点を点Fとする。
AB=10かつAC=4のとき、ADの長さを求めてください。

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AB=10より、円Oの半径は5だから、OA=OD=5
△AFC∽△DFE
中点連結定理より、OE=2、よってED=3
よって、△ADCと△DEFの相似比は4:3
AB=10、AC=4、∠C=90°だから、三平方の定理よりBC=2√21
よってEC=√21でEF:FC=3:4より、FC=4√21/7
AC=4だから、三平方の定理より、AF=4√70/7
よって、AD=√70

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まず問題文を図にして整理してみましょう。
図を描くと添付1のようになります。

次に求めやすいところから辺の長さや比も書いていきましょう。

三平方の定理から、BCの長さは以下の通りです。

\begin{equation}
AB^2=AC^2+BC^2
\end{equation}

\begin{equation}
10^2=4^2+BC^2
\end{equation}

\begin{equation}
BC^2=100-16=84
\end{equation}

\begin{equation}
BC=\sqrt{84}=2\sqrt{21}・・・①
\end{equation}

さらにADは角Aを二等分した線ですので、BFとFCの比は以下の通りです。

\begin{equation}
BF:FC=1:1
\end{equation}

①の答えと合わせるとBFとFCの長さは以下のようになります。
\begin{equation}
BF=FC=\sqrt{21}・・・②
\end{equation}

さらに、添付２のようにBDの補助線を引いてみます。
すると以下の通り角度が等しくなりますね。
\begin{equation}
\angle CAF=\angle DBF
\end{equation}
\begin{equation}
\angle CFA=\angle DFB
\end{equation}
\begin{equation}
\angle ACF=\angle BDF
\end{equation}

よって、三角形ACFと三角形BDFは相似の関係であることがわかります。
ここで、求めたい長さはADなので、AFとFDの長さがわかれば、あとはそれらを足すだけですね。

ではここからAFとFDの長さを求めていきましょう。
見やすくするために添付３のように抜き出してみます。
まず三角形ACFにおいて、三平方の定理よりAFを求めてみます。
\begin{equation}
AF^2=4^2+\sqrt{21}^2=37
\end{equation}

\begin{equation}
AF=\sqrt{37}
\end{equation}

ですので、三角形ACFと三角形BDFは相似比が√37:√21であることがわかりました。
よって、FDは以下の長さになります。
\begin{equation}
\sqrt{37}:\sqrt{21}=\sqrt{21}:FD
\end{equation}
\begin{equation}
FD=\frac{21}{\sqrt{37}}
\end{equation}

したがって、ADの長さは下記の通りになります。
\begin{align}
AD &=AF+FD\\
&=\sqrt{37}+\frac{21}{\sqrt{37}}\\
&=\frac{58\sqrt{37}}{37}\\
\end{align}