重複を考える場合の数がわからないです。

[ゲスト]

8個の同じキャラメルを a,b,cの3人で分ける.
このとき, 1 個も受け取れない人がいても良い場合の配り方
の総数と, 3 人とも少なくとも 1 つ受け取れる場合の配り方
の総数の, 差はいくつか.
この問題で丸と棒を使わない解答方法を教えてください。

[ゲスト]

典型的には○8つと仕切り線|2つを並べて、仕切られてできた○の個数を左から順にa,b,cの受け取る個数と対応させます。

例えば
○○|○○○○○|○
になったとすると、aが2個、bが5個、cが1個
|○○|○○○○○○
ならaが0個、bが2個、cが6個
○○||○○○○○○
ならaが2個、bが0個、cが6個
○○○○○○○○||
ならaが8個全部
という具合です。

よって受け取れない人がいてもいい場合は○6つと|2つの並べ方の総数だけあるので
10!/ 8!•2! =45通り


全員が1個以上受け取る場合は先に○を8つ並べて、隙間7箇所に1本ずつ仕切りを入れます。
よって仕切りの入れ方だけあるので
₇C₂=21通り



重複組合せの公式でも可。
ₙHₖ=ₙ₊ₖ₋₁Cₖ を利用します。

受け取れない人がいてもいい場合は
₃H₈=₁₀C₈=₁₀C₂=45通り

全員1個以上受け取る場合は、全員が先に1個ずつ受け取っておいて、残り5個を自由に分けると考えて
₃H₅=₇C₅=₇C₂=21通り