複素数平面と図形の関係について

[ゲスト]

数Ⅲの問題です。
複素数平面上の点z=x+yi（x,yは実数、iは虚数単位）が次の条件を満たす時、x,yが満たす関係式を求め、その関係式が表す図形の概形を図示せよ。

｜z+3｜+｜z-3｜=12 ①

という問題なのですが、私は､①式を二乗してとこうと思ったのですが、答えが､ただの円になってしまいました。解説を見ると、答えがx^2/36+y^2/27=1という楕円の式になっていました。
二乗しても答えは出ないのでしょうか？
もし出ないのであれば、理由も説明して下さると嬉しいです｡

回答のほどよろしくお願いします

[ゲスト]

計算したら本当にただの円になりましたか？？

<両辺の2乗による解法>
式①の|z-3|を左辺に移項して、両辺を二乗すると、
|z+3|²=144-24|z-3|+|z-3|²
(z+3)(z⁻+3)=144-24|z-3|+(z-3)(z⁻-3)
6(z+z⁻)-144=-24|z-3| 両辺を6で割ると、
(z+z⁻-24)=-4|z-3| さらに両辺を二乗して、
(z+z⁻)²-48(z+z⁻)+24²=16(z-3)(z⁻-3)
=16zz⁻-48(z+z⁻)+144
(z+z⁻)²=16zz⁻-432 …②
ここで、z=x+yi なので、
z+z⁻=(x+yi)+(x-yi)=2x
zz⁻=(x+yi)(x-yi)=x²+y² これを式②に代入して、
4x²=16(x²+y²)-432 整理して、
12x²+16y²=432 両辺を432で割って、
x²/36+y²/27=1
したがって、式①を満たす複素数zの集合が描く図形は
長軸6, 短軸3√3, 焦点(3, 0), (-3, 0) の楕円である。


[補足]
一応この問題は、式と曲線の知識を使って
計算をほとんどせずにx, yが満たす
関係式を導くことができます。

<式と曲線の知識を用いる解法>
|z+3| は点zと点-3の間の距離を、
|z-3| は点zと点3の間の距離を表すので、
式①は2点3, -3からの距離の和が12になるような
点zを表しており、これは楕円の定義そのものである。
したがって、この図形は焦点が(3, 0), (-3, 0)で、
長軸の長さが6である楕円を表す。
よって、短軸の長さをbとすると、
6²-b²=9 より、b²=27 であるから、
x, yの満たす関係式はx²/36+y²/27=1 である。

[ゲスト]

私の計算ミスだったんですね^^;
途中式まで分かりやすく書いて頂きありがとうございました！

式と曲線の知識の話は､一応参考書に書いてあったのですが､イマイチ掴めなかったのですが、こちらに関して何となく掴めそうな気がしてきました！

繰り返しになりますが、ありがとうございました！