行列と固有ベクトルについて質問があります。

[ゲスト]

3×3の行列式の固有値と固有空間を求める問題です
求め方と解答を教えていただきたいです
よろしくお願いいたします

[ゲスト]

A =
[4,-1,-1]
[2, 1,-1]
[1,-1, 2]

固有値を λ とする.
|λE-A| = 0
ただし, E は単位行列
から
| λ-4,1,1|
|-2,λ-1,1| = 0
|-1,1,λ-2|
⇔ (λ-3) (λ-2)² = 0
⇔ λ = 2, 3

■固有値 2 の場合
固有ベクトルを v = ᵗ(x,y,z) とする.
(2E-A) v = 0
から
[-2,1,1][x] [0]
[-2,1,1][y]=[0]
[-1,1,0][z] [0]
行基本変形して簡約化すると
[1, 0,-1][x] [0]
[0, 1,-1][y]=[0]
[0, 0, 0][z] [0]
⇔ x-y = 0, y-z = 0
⇔ x = y = z
よって, 固有ベクトルは
v
= ᵗ(c,c,c)
= c ᵗ(1,1,1)
c≠0

固有空間は零ベクトルも含めて
(※ℝ³ の部分空間とする場合には)
W(2) = {c ᵗ(1,1,1) | c∈ℝ}
(※ℂ³ の部分空間とする場合には)
W(2) = {c ᵗ(1,1,1) | c∈ℂ}

■固有値 3 の場合
固有ベクトルを v = ᵗ(x,y,z) とする.
(3E-A) v = 0
から
[-1,1,1][x] [0]
[-2,2,1][y]=[0]
[-1,1,1][z] [0]
行基本変形して簡約化すると
[1,-1, 0][x] [0]
[0, 0, 1][y]=[0]
[0, 0, 0][z] [0]
⇔ x-y = 0, z = 0
⇔
よって
v
= ᵗ(c,c,0)
= c ᵗ(1,1,0)
c≠0

固有空間は零ベクトルも含めて
(※ℝ³ の部分空間とする場合には)
W(3) = {c ᵗ(1,1,0) | c∈ℝ}
(※ℂ³ の部分空間とする場合には)
W(3) = {c ᵗ(1,1,0) | c∈ℂ}