数学のベクトルの問題の質問です。
画像の
座標空間内に点A(5、4、2)を中心とする半径7の球面Sがある。原点Ｏからベクトルu(1、1、-2)の向きに出た光線が球面S上の点Ｂでの反射され球面S上の点Ｃに達した。Bでの反射により点Ｃは直線OBと直線ABで作られる平面上にあり直線ABは∠OBCを二等分することになる
(2)Bで反射した光線の方向ベクトルを示せ
(3)Ｃの座標を求めよ
以上です。よろしくお願いいたします。
数学のベクトルの問題の質問です。
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ゲスト
Re: 数学のベクトルの問題の質問です。
見にくいですが、ベクトルは矢印で書きますね
(2)Bで反射した光線の方向ベクトルを示せ
＞
s(＞0)を実数として↑OB=s↑u=s↑(1,1,-2)=↑(s,s,-2s)
↑AB=↑OB-↑OA=↑(s,s,-2s)-↑(5,4,2)=↑(s-5,s-4,-2s-2)
|↑AB|=7だから、
$|↑AB|^2$=↑AB・↑AB=(s-5,s-4,-2s-2)・(s-5,s-4,-2s-2)
=$(s-5)^2$+$(s-4)^2$+$(-2s-2)^2$=6$s^2$-10s+45=$7^2$から、
3$s^2$-5s-2=(3s+1)(s-2)=0、解いて、s=2,-1/3
s＞0だからs=2で、B(2,2,-4)
原点Oから直線ABに下した垂線の足をH(x,y,z)とすると、
↑OH⊥↑ABから、
↑OH・↑AB=↑(x,y,z)・(↑OB-↑OA)
=↑(x,y,z)・{↑(2,2,-4)-↑(5,4,2)}
=↑(x,y,z)・↑(-3,-2,-6)=-3x-2y-6z=0.....(ｱ)
tを実数として↑AH=t↑ABだから、
↑AH=↑OH-↑OA=↑(x,y,z)-↑(5,4,2)=↑(x-5,y-4,z-2)
↑(x-5,y-4,z-2)=t↑(-3,-2,-6)=↑(-3t,-2t,-6t)
x-5=-3t,y-4=-2t,z-2=-6tより、x=5-3t,y=4-2t,z=2-6t
(ｱ)に代入、整理して、t=5/7
x=5-3*5/7=20/7,y=4-2*5/7=18/7,z=2-6*5/7=-16/7
H(20/7,18/7,-16/7)
原点Oの直線ABに関する対称点をO'とすると
↑OO'=2↑OH=2↑(20/7,18/7,-16/7)=↑(40/7,36/7,-32/7)
↑BO'=↑OO'-↑OB=↑(40/7,36/7,-32/7)-↑(2,2,-4)
=↑(26/7,22/7,-4/7)=(2/7)*↑(13,11,-2)
よって、↑(13,11,-2)・・・答
uを実数として↑BC=u↑(13,11,-2)
↑AC=↑AB+↑BC=↑(-3,-2,-6)+↑(13u,11u,-2u)
=↑(13u-3,11u-2,-2u-6)
|↑AC|=7だから、
|↑AC|^2=↑AC・↑AC
=↑(13u-3,11u-2,-2u-6)・↑(13u-3,11u-2,-2u-6)
=$(13u-3)^2$+$(11u-2)^2$+$(-2u-6)^2$=294$u^2$-98u+49=49
(3u-1)u=0、u=0,1/3
u=0とすると、↑AC=↑(-3,-2,-6)となり、
↑OC=↑OA+↑AC=↑(5,4,2)+↑(-3,-2,-6)=↑(2,2,-4)=↑OB
よって、u=1/3
↑BC=u↑(13,11,-2)=↑(13/3,11/3,-2/3)
↑OC=↑OB+↑BC=↑(2,2,-4)+↑(13/3,11/3,-2/3)
=↑(19/3,17/3,-14/3)
C(19/3,17/3,-14/3)・・・答
これでいかがでしょうか。よろしくお願いいたします。
(2)Bで反射した光線の方向ベクトルを示せ
＞
s(＞0)を実数として↑OB=s↑u=s↑(1,1,-2)=↑(s,s,-2s)
↑AB=↑OB-↑OA=↑(s,s,-2s)-↑(5,4,2)=↑(s-5,s-4,-2s-2)
|↑AB|=7だから、
$|↑AB|^2$=↑AB・↑AB=(s-5,s-4,-2s-2)・(s-5,s-4,-2s-2)
=$(s-5)^2$+$(s-4)^2$+$(-2s-2)^2$=6$s^2$-10s+45=$7^2$から、
3$s^2$-5s-2=(3s+1)(s-2)=0、解いて、s=2,-1/3
s＞0だからs=2で、B(2,2,-4)
原点Oから直線ABに下した垂線の足をH(x,y,z)とすると、
↑OH⊥↑ABから、
↑OH・↑AB=↑(x,y,z)・(↑OB-↑OA)
=↑(x,y,z)・{↑(2,2,-4)-↑(5,4,2)}
=↑(x,y,z)・↑(-3,-2,-6)=-3x-2y-6z=0.....(ｱ)
tを実数として↑AH=t↑ABだから、
↑AH=↑OH-↑OA=↑(x,y,z)-↑(5,4,2)=↑(x-5,y-4,z-2)
↑(x-5,y-4,z-2)=t↑(-3,-2,-6)=↑(-3t,-2t,-6t)
x-5=-3t,y-4=-2t,z-2=-6tより、x=5-3t,y=4-2t,z=2-6t
(ｱ)に代入、整理して、t=5/7
x=5-3*5/7=20/7,y=4-2*5/7=18/7,z=2-6*5/7=-16/7
H(20/7,18/7,-16/7)
原点Oの直線ABに関する対称点をO'とすると
↑OO'=2↑OH=2↑(20/7,18/7,-16/7)=↑(40/7,36/7,-32/7)
↑BO'=↑OO'-↑OB=↑(40/7,36/7,-32/7)-↑(2,2,-4)
=↑(26/7,22/7,-4/7)=(2/7)*↑(13,11,-2)
よって、↑(13,11,-2)・・・答
uを実数として↑BC=u↑(13,11,-2)
↑AC=↑AB+↑BC=↑(-3,-2,-6)+↑(13u,11u,-2u)
=↑(13u-3,11u-2,-2u-6)
|↑AC|=7だから、
|↑AC|^2=↑AC・↑AC
=↑(13u-3,11u-2,-2u-6)・↑(13u-3,11u-2,-2u-6)
=$(13u-3)^2$+$(11u-2)^2$+$(-2u-6)^2$=294$u^2$-98u+49=49
(3u-1)u=0、u=0,1/3
u=0とすると、↑AC=↑(-3,-2,-6)となり、
↑OC=↑OA+↑AC=↑(5,4,2)+↑(-3,-2,-6)=↑(2,2,-4)=↑OB
よって、u=1/3
↑BC=u↑(13,11,-2)=↑(13/3,11/3,-2/3)
↑OC=↑OB+↑BC=↑(2,2,-4)+↑(13/3,11/3,-2/3)
=↑(19/3,17/3,-14/3)
C(19/3,17/3,-14/3)・・・答
これでいかがでしょうか。よろしくお願いいたします。