考え方の流れが分かりません

[ゲスト]

pを定数として、関数y=(x²-2x)²²+2p(x²-2x)+p+1の最小値をmとする。mをpの式で表せ。
という問題です。
t=x^2-2xとおく。
ここまではわかるのですが、
t=(x-1)^2-1より、t≧-1
このとき、-1≧-pと-p>-1で場合わけをします。
なぜ、tの範囲を決めるのですか？
そして、なぜ-pで場合わけをするのですか？

[ゲスト]

まず、考え方の流れとしては、まず、展開するのではなく、x²-2xを1つの変数でおいてから考えることが大事になります、つまり、tとでもおくと
t²+2pt+p+1になるので、これで考えます
二次関数になるので平方完成して考えてあげるといいですね

tの範囲を求めるのは、最小値とか最大値を求めるときには必ず必要だからです。xの範囲指定はないですが、暗に「xは実数である」という範囲は指定されています。なのでそれに似あうtの範囲を求める必要がありますね。

y=(x²-2x)²+2p(x²-2x)+p+1
x²-2x=tとすると、
y=t²+2pt+p+1
=(t+p)²-p²+p+1
軸：直線t=-p
であり、tの範囲はt≧-1であるから
軸が定義域より左側にあるのか右側にあるのかで場合分けをする必要があります。
(ⅰ)-p<-1つまりp>1のとき
t≧-1の範囲では
最小値：-p+2(t=-1のとき)
(ⅱ)-p≧-1つまりp≦1のとき
t≧-1の範囲では
最小値：-p²+p+1(t=-pのとき)